Question

使用以下代码：

n = Int('n')
s = Solver()
s.add(n >= 5)
s.add(Not( n**5 <= 5**n))
print s
print s.check()

我们获得以下输出：

[n ≥ 5, ¬(n^5 ≤ 5^n)]
unknown

这就是说Z3Py无法产生直接证明。

现在使用代码

n = Int('n')
prove(Implies(n >= 5, n**5 <= 5**n))

Z3Py也失败了。

可靠的间接证据如下：

n = Int('n')
e, f = Ints('e f')
t = simplify(-(5 + f + 1)**5 + ((5 + f)**5 + e)*5, som=True)
prove(Implies(And(e >=0, f >= 0), t >= 0))

，输出为：

proved

使用Isabelle + Maple的证明在：定理和算法：Isabelle和Maple之间的接口。克莱门斯巴拉林。卡斯滕霍曼雅克·卡尔梅特。

使用Z3Py的其他可能的间接证据如下：

n = Int('n')
e, f = Ints('e f')
t = simplify(-(5 + f + 1)**5 + ((5 + f)**5 + e)*5, som=True)
s = Solver()
s.add(e >= 0, f >= 0)
s.add(Not(t >= 0))
print s
print s.check()

，输出为：

[e ≥ 0,
f ≥ 0,
¬(7849 +
9145·f +
4090·f·f +
890·f·f·f +
95·f·f·f·f +
4·f·f·f·f·f +
5·e ≥
0)]
unsat

如果可以使用Z3Py进行更直接的证明，请告诉我。非常感谢。

Answer 1

Z3对非线性整数算法的支持非常有限。有关详细信息，请参阅以下相关帖子：

How does Z3 handle non-linear integer arithmetic?

Z3有一个完整的求解器（nlsat）用于非线性实数（多项式）算术。您可以通过编写

来简化脚本

n = Real('n')
e, f = Reals('e f')
prove(Implies(And(e >=0, f >= 0), -(5 + f + 1)**5 + ((5 + f)**5 + e)*5 >= 0))

Z3在上面的问题中使用了nlsat，因为它只包含实变量。即使问题包含整数变量，我们也可以强制Z3使用nlsat。

n = Int('n')
e, f = Ints('e f')
s = Tactic('qfnra-nlsat').solver()
s.add(e >= 0, f >= 0)
s.add(Not(-(5 + f + 1)**5 + ((5 + f)**5 + e)*5 >= 0))
print s
print s.check()

在线使用Z3Py证明n ^ 5 <= 5 ^ n，n> = 5

1 个答案: