我想找到一个位于空间某处的未知节点的坐标，该节点的参考距离远离3个或更多节点，所有这些节点都已知有坐标。
此问题与此处描述的Trilateration Trilateration完全相同。
但是，我不理解关于“初步和最终计算”的部分（参考维基百科网站）。我找不到P1，P2和P3的地方，所以我可以把它们放到那些方程式上？
由于
答案 0 :(得分：28)
三边测量是找到三个球体交叉区域中心的过程。必须知道三个球体的中心点和半径。
让我们考虑你的三个例子中心点P1 [-1,1]，P2 [1,1]和P3 [-1，-1]。第一个要求是P1'在原点，所以让我们通过在所有三个上加一个偏移矢量V [1，-1]来相应地调整点：
P1' = P1 + V = [0, 0]
P2' = P2 + V = [2, 0]
P3' = P3 + V = [0,-2]
注意：调整后的点由'（素数）注释表示。
P2'也必须位于x轴上。在这种情况下它已经存在，因此无需进行任何调整。
我们假设每个球体的半径为2。
现在我们有3个方程（给定）和3个未知数（交点中心点的X，Y，Z）。
解决P4'x：
x = (r1^2 - r2^2 + d^2) / 2d //(d,0) are coords of P2'
x = (2^2 - 2^2 + 2^2) / 2*2
x = 1
解决P4'y：
y = (r1^2 - r3^2 + i^2 + j^2) / 2j - (i/j)x //(i,j) are coords of P3'
y = (2^2 - 2^2 + 0 + -2^2) / 2*-2 - 0
y = -1
忽略z以解决2D问题。
P4'= [1，-1]
现在我们通过减去偏移矢量V：
来转换回原始坐标空间P4 = P4' - V = [0,0]
解决方案点P4正如预期的那样位于原点。
本文的后半部分描述了一种表示一组点的方法，其中P1不在原点，或者P2不在x轴上，使得它们符合这些约束。我更愿意将其视为翻译，但两种方法都会产生相同的解决方案。
编辑：将P2'旋转到x轴
如果在将P1转换为原点后P2'不位于x轴上，我们必须对视图执行旋转。
首先，让我们创建一些新的矢量作为例子： P1 = [2,3] P2 = [3,4] P3 = [5,2]
请记住，我们必须首先将P1翻译为原点。与往常一样，偏移矢量V是-P1。在这种情况下，V = [ - 2，-3]
P1' = P1 + V = [2,3] + [-2,-3] = [0, 0]
P2' = P2 + V = [3,4] + [-2,-3] = [1, 1]
P3' = P3 + V = [5,2] + [-2,-3] = [3,-1]
要确定旋转角度，我们必须找到P2'和[1,0]（x轴）之间的角度。
我们可以使用dot product相等：
A dot B = ||A|| ||B|| cos(theta)
当B为[1,0]时，可以简化：点B始终只是A的X分量，|| B || （B的大小）总是乘以1，因此可以忽略。
我们现在有Ax = || A || cos（theta），我们可以重新排列到最终的等式：
theta = acos(Ax / ||A||)
或在我们的案例中：
theta = acos(P2'x / ||P2'||)
我们使用|| A ||计算P2'的大小= sqrt（Ax + Ay + Az）
||P2'|| = sqrt(1 + 1 + 0) = sqrt(2)
插入我们可以解决的问题
theta = acos(1 / sqrt(2)) = 45 degrees
现在让我们使用rotation matrix将场景旋转-45度。 由于P2'y为正，旋转矩阵逆时针旋转，我们将使用负旋转将P2与x轴对齐（如果P2'为负，则不要否定θ）。
R(theta) = [cos(theta) -sin(theta)]
[sin(theta) cos(theta)]
R(-45) = [cos(-45) -sin(-45)]
[sin(-45) cos(-45)]
我们将使用双素数符号''来表示已翻译和旋转的矢量。
P1'' = [0,0] (no need to calculate this one)
P2'' = [1 cos(-45) - 1 sin(-45)] = [sqrt(2)] = [1.414]
[1 sin(-45) + 1 cos(-45)] = [0] = [0]
P3'' = [3 cos(-45) - (-1) sin(-45)] = [sqrt(2)] = [ 1.414]
[3 sin(-45) + (-1) cos(-45)] = [-2*sqrt(2)] = [-2.828]
现在你可以使用P1''，P2''和P3''来解决P4''。将反向旋转应用于P4''以获得P4'，然后反向旋转以获得P4，即您的中心点。
要撤消旋转，请将P4''乘以R（-theta），在本例中为R（45）。要撤消平移，请减去偏移矢量V，这与添加P1相同（假设您最初使用-P1作为V）。
答案 1 :(得分：0)
以下是OpenSCAD脚本中提供的Wikipedia计算，我认为这有助于以视觉方式理解问题，并提供一种简便的方法来检查结果是否正确。 Example output from the script
// Trilateration example
// from Wikipedia
//
// pA, pB and pC are the centres of the spheres
// If necessary the spheres must be translated
// and rotated so that:
// -- all z values are 0
// -- pA is at the origin
pA = [0,0,0];
// -- pB is on the x axis
pB = [10,0,0];
pC = [9,7,0];
// rA , rB and rC are the radii of the spheres
rA = 9;
rB = 5;
rC = 7;
if ( pA != [0,0,0]){
echo ("ERROR: pA must be at the origin");
assert(false);
}
if ( (pB[2] !=0 ) || pC[2] !=0){
echo("ERROR: all sphere centers must be in z = 0 plane");
assert(false);
}
if (pB[1] != 0){
echo("pB centre must be on the x axis");
assert(false);
}
// show the spheres
module spheres(){
translate (pA){
sphere(r= rA, $fn = rA * 10);
}
translate(pB){
sphere(r = rB, $fn = rB * 10);
}
translate(pC){
sphere (r = rC, $fn = rC * 10);
}
}
function unit_vector( v) = v / norm(v);
ex = unit_vector(pB - pA) ;
echo(ex = ex);
i = ex * ( pC - pA);
echo (i = i);
ey = unit_vector(pC - pA - i * ex);
echo (ey = ey);
d = norm(pB - pA);
echo (d = d);
j = ey * ( pC - pA);
echo (j = j);
x = (pow(rA,2) - pow(rB,2) + pow(d,2)) / (2 * d);
echo( x = x);
// size of the cube to subtract to show
// the intersection of the spheres
cube_size = [10,10,10];
if ( ((d - rA) >= rB) || ( rB >= ( d + rA)) ){
echo ("Error Y not solvable");
}else{
y = (( pow(rA,2) - pow(rC,2) + pow(i,2) + pow(j,2)) / (2 * j))
- ( i / j) * x;
echo(y = y);
zpow2 = pow(rA,2) - pow(x,2) - pow(y,2);
if ( zpow2 < 0){
echo ("z not solvable");
}else{
z = sqrt(zpow2);
echo (z = z);
// subtract a cube with one of its corners
// at the point where the sphers intersect
difference(){
spheres();
translate ([x,y - cube_size[1],z]){
cube(cube_size);
}
}
translate ([x,y - cube_size[1],z]){
%cube(cube_size);
}
}
}