迭代重复...迭代方法

Question

我尝试使用迭代方法

来解决以下递归关系

T(1) = 8  
T(n) = 3T(n-1) - 15

迭代：

i = 1

T(n) = 3(3T(n-2) - 15) -15

i = 2

3(3(3T(n-3) - 15) -15) - 15

i = 3

 3(3(3(3T(n-4) - 15) -15) - 15) - 15

i = 4

3(3(3(3(3T(n-5) - 15) -15) - 15) - 15) - 15

从迭代模式中我发现了 T（n）= 3 ^{（i + 1）} * T（n-（i + 1）） - 15

现在我需要找到此递归关系的总和并获得封闭形式。我只是不确定如何继续。

有人可以指导我解决这个问题吗？

Answer 1

递归关系是，

T(n) = 3T(n-1) - 15                        ------ 1

T(n-1) = 3T(n-2) - 15                      ------ 2

1-2 ->  T(n) - T(n-1) = 3T(n-1) - 3T(n-2)  ------ 3

T(n) - 4T(n-1)  + 3T(n-2) = 0              ------ 4

相应的特征方程是，

x ² -4x + 3 = 0

x = 3且x = 1是解决方案，

通用解决方案是，

T（n）= a 1 ⁿ + b 3 ⁿ

这意味着 T（n）= a + b 3 ⁿ

我们有T（1）= 8，

a + 3b = 8 ---- 5

T（2）= 9，

a + 9b = 9 ---- 6

解决5＆amp; 6，我们得到a = 15/2和b = 1/6。

因此，一般的解决方案是， T（n）=（1/6）3 ⁿ + 15/2 。