在局部框架中旋转，表示为四元数

Question

下图显示了位于全局帧G中的两个坐标系A和B：

我需要找到将A旋转到B的四元数，但是在A的本地框架中表示。

第一部分很简单，B.conjugate()*A（从B的旋转中减去A的旋转），这会在(-1,0,0)周围产生π/ 2旋转。这显然是正确的，因为将全球A轴周围的-x旋转90°会得到B。

现在我需要在A中表达结果;期望的结果是(0,0,-1)附近的π/ 2（这就是A中的全局-x），但是我无法通过旋转合成达到目标。

我可以将四元数转换为角轴表示（(-1,0,0)周围的π/ 2），将轴旋转为A*(-1,0,0)=(0,0,-1)，然后转换回四元数，但我想避免转换可能的。

如何仅使用四元数乘法获得旋转？

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代码本身是c ++，但我在python中用minieigen检查：

from minieigen import *
from math import *
A=Quaternion((0,-1,0),pi/2)
B=Quaternion((sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3,sqrt(3)/3),(2/3.)*pi)
# rotation in global frame:
rg=B.conjugate()*A           # is Quaternion((-1,0,0),pi/2)
# rotation in local frame:
# ?? what now?! hack around with angle-axis
aa=rg.toAngleAxis()
rl=Quaternion(A*aa[1],aa[0]) # is Quaternion((0,0,-1),pi/2)

for q in A,B,rg,rl: print q

给出：

Quaternion((0,-1,0),1.5707963267948966)
Quaternion((0.5773502691896257,-0.5773502691896257,0.5773502691896257),2.0943951023931953)
Quaternion((-1,-7.850462293418876e-17,-7.850462293418876e-17),1.5707963267948968)
Quaternion((-1.1102230246251568e-16,-7.850462293418877e-17,-1),1.5707963267948968)

Answer 1

这很简单，但我把它留在这里备案：

A*B.conjugate()

Answer 2

你的方程式并不适合我。

我会将 Q'用于Q.conjugate。现在我们知道 Q'* Q 是身份，因此 Q * Q'。因此，如果您想知道将 A 转换为 B 的四元数（在 A 和 B 的全局框架中） >都在全局框架中），然后从该等式开始（假设这些四元数表示应用于列向量的旋转）：

问* A = B

然后你将A移到另一边

问* A * A '= B * A'= Q

这，我们可以看到是正确的，因为 B * A'* A = B 。你问题中的等式表示， B'* A * A = B 。我认为这一般不成立。

现在，如果您希望轮换位于 A 的框架而不是全局框架中，那相当于在中表示您想要 B 一个的框架。这与从 B 中删除 A 相同。像这样： A'* B 。这样，如果您从 A 的框架旋转到全局框架，您最终会再次使用 B ： A * A'* B = B