需要数学证明（概率）

Question

从 Pr [E] = Pr [E | A] .Pr [A] + Pr [E | A']。Pr [A']

我们怎样才能证明 Pr [E]＆lt; = Pr [E | A] + Pr [A']

Answer 1

如果Pr [E]是Pr [E | A]的子集，则满足Pr [E]＆lt; = Pr [E | A]。这经证明： Pr [E | A] = Pr [E] + Pr [A] - Pr [E＆amp; A]。

因此，给定任何概率E和A，Pr [E]仍然是Pr [E | A]的子集。

Answer 2

Pr[E] <= Pr[E|A] + Pr[A']

左侧可以用第一行替换..

Pr[E|A].Pr[A] + Pr[E|A'].Pr[A'] <= Pr[E|A] + Pr[A']

hmm所以让两边减去“Pr [E | A] .Pr [A]”。 在右侧，您可以翻译Pr [E | A] = Pr [E | A] * 1 = Pr [E | A]（Pr [A] + Pr [A']）

Pr[E|A'].Pr[A'] <= Pr[E|A].Pr[A'] + Pr[A']

现在我们可以将两边放在括号中以隔离Pr [A']

( Pr[E|A'] ) * Pr[A'] <= ( Pr[E|A] + 1 ) * Pr[A']

并除以Pr [A']

Pr[E|A'] <= Pr[E|A] + 1

所以......如果...... Pr [E | A] = 0 然后双方可以相等（如果左侧是1） 在所有其他情况下，右侧较大，因为它大于1，左侧最大可为1