Question

我正在尝试用CoqIDE证明某些东西（用于学校）。我在踩，这是

`Print length. (* la longueur de listes *)


Lemma mystere A:  forall l : list A, length l = 0 <-> l = nil.
intros.
destruct l.
* split.
- intros.
reflexivity.
- intros. 
simpl.
reflexivity.
* split.
- intros.
???? <- I have tried many things, but without success..
Admitted.
`

感谢您的考虑！

Answer 1

您的上下文有一个假设

H : length (a :: l) = 0

这很荒谬，因为length (a :: l)是继任者。您可以通过运行simpl in *或simpl in H看到此内容，结果是

H : S (length l) = 0

如果您现在运行

Search (S _) 0.

第二个条目（在H之后）是

O_S: forall n : nat, 0 <> S n

因此我们可以运行symmetry in H来获得与O_S更好匹配的假设。

H : 0 = S (length l)

由于a <> b只是a = b -> False，我们现在可以运行apply O_S in H来获取

H : False

现在我们已经有效完成了。我们可以用exfalso; assumption或exfalso; exact H或easy或now trivial（或now idtac）或{{1}来完成证明}或case H或destruct H或elim H或refine match H with end或induction H或refine (False_rect _ H)。所有这些基本上都是同一件事（尽管其中一些（例如tauto和easy也可以解决其他目标）。

Answer 2

试试这个：我想像这样改变你的引理，

Definition length_nil_list (l: nat): bool :=
match l with
| O => true
| S _ => false
end.

Compute length_nil_list (S O).
Compute length_nil_list (O).
Compute length_nil_list (S (S O)).

Definition list_nil {X : Type} (l: list X): bool:=
match l with
| nil => true
| cons h t => false
end.

Compute list_nil [].
Compute list_nil [0].
Compute list_nil nil.

Lemma mystere A:  forall l : list A, 
length_nil_list (length l) = true <-> list_nil l = true.
Proof.
intros.
destruct l.
* split.
- intros.
reflexivity.
- intros. 
simpl.
reflexivity.
* split. 
- simpl. auto.
- simpl in *. auto.
Qed.

Coq中的清单证明

2 个答案: