Question

给定一个 S = {s _i：{z _j：z∈ N }}，什么是计算 S 子集的唯一交集集的时间有效算法？

对于背景，我正在处理这个问题的几个版本，有些版本比其他版本大。在最小的一个| S | ≈1,000，| s _i | ≈10,000，值为邮政编码。

清晰的小例子：

Input: S = {{},{1},{2,3},{3,4,5,6,7,8,9,10}}
Output: {{},{1},{2,3},{3,4,5,6,7,8,9,10},{3}}

| 取值 | = 4且⁴ = 16个 S 子集。但是，只有五组唯一的子集交集。前四个是 S 自己的成员。第五个是{3}。空集已经是 S 的成员。所有其他10个子集交叉点也产生空集。

Answer 1

这是一个值得的快速预处理步骤。

调用元素x和y 等效如果，对于每个集合_i，x和y中的两者都不属于s _i 。通过删除除每个等价类的一个代表之外的所有元素来简化问题。最后，将每个代表扩展到同类。

为了简化，逐个扫描集，同时保持从每个元素到其等价类的标签的映射，其中等价是针对到目前为止处理的集合确定的。最初，所有元素都在同一个类中，因此该映射将每个元素发送到同一个标签。要处理集合，请初始化新标签的空白地图。对于集合中的每个元素x，令k为x的当前标签。如果密钥k存在于新标签映射中，则对应于k的值变为x的新标签。否则，我们分配一个新标签并将其分配给x并添加从k到新标签的映射。

这是您输入的执行。

最初标签= {1：a，2：a，3：a，4：a，5：a，6：a，7：a，8：a，9：a，10：a}。
扫描{}。没有任何事情发生。
扫描{1}。将标签[1]更改为b。
扫描{2,3}。将标签[2]和标签[3]更改为c。
扫描{3,4,5,6,7,8,9,10}。将标签[3]更改为d并将[4..10]标记为e。
最后，label = {1：b，2：c，3：d，4：e，5：e，6：e，7：e，8：e，9：e，10：e} 。选择1（b）和2（c）以及3（d）和4（e）来表示他们的类别。所有其他内容都将被删除。

Answer 2

渐近时间复杂度：

n：套数，会在执行期间发生变化

m：平均设置尺寸

时间： T（搜索匹配集）x T（交点）x SUM {k}表示k：1..n

时间： 2m x 2m x 1/2 n（n + 1）

时间： O（4 m ^ 2 x 1/2 n x（n + 1））〜 O（n ^ 2 m ^ 2）

建议的算法：

FOR i: 1..n
{

    FOR j: i..n
    {

        IF i = j THEN SKIP

        INTERSECTION := FIND-INTERSECTION ( SETS[i], SETS[j] )

        IF INTERSECTION ⊄ SETS[] THEN ADD INTERSECTION TO SETS[]

    }

}

计算子集的唯一交叉点

2 个答案: