Question

给定n个整数值段的向量，我正在搜索O（n log n）算法来计算包含大多数其他段的段。事实上，我只对这些细分的数量感兴趣。

我尝试了段树和间隔树的变体，但没有相关的。我的真正问题来自偏序。如果订单是完全的，通过直接计算包含树可以更容易地解决问题。

示例：a = [4;11] b = [2;7] c = [5;8] d = [6;7] e = [3;9] f = [1;10] g = [10;42]

这里我们有f包含e c b和d是最大的。当然，g更长，但不包含任何其他段，所以它不是最大段的问题。

我们可以显示订单图（不显示传递弧）：

f -----> b  ---> d
  \-->e--->c-/
       a-/
g

对我来说，主要的问题是我不能排除一段时间处理段，因为在某些时候可能会出现子段，这些子段不包含在f中并构成最大的段。

Answer 1

O（n log n）是可能的（我假设开放间隔，没有端点重叠）

您将所有端点排序为排序列表（升序），并跟踪哪个间隔（例如使用id）以及特定点的间隔结束。

现在您维护一个支持以下内容的数据结构：

AppendAtEnd(interval_id)
int GetPosition(interval_id)
Value Remove(interval_id)
IncrementValuesLessThanPosition(j)

这是一个结构，它接受一个键（intervals_ids）并维护它们的有序（按插入时间）列表，并带有一个附加值，该值最初为0，我们用它来跟踪子间隔。 / p>

它允许您在最后插入。使用id删除（并获取相应的值），获取id的位置（如果使用链接列表实现，则将其视为距离头部的距离）并递增列表的特定前缀的所有值。

要将此结构用于我们的问题，我们走上面的排序列表，每次看到间隔的左端点时，我们都会调用AppendAtEnd。

每当我们看到一个区间的右端点时，我们得到它的位置，我们将其移除，并递增所有小于该位置的值（基本上所有具有此移除区间的区间作为子区间）。

使用具有适当装饰信息的平衡树（如子树总和和节点计数），这是可行的，因此每个操作都是O（log n）。

Answer 2

我在O（n log n）中找到了直接解决方案。

首先使用字典顺序按照x坐标的递增顺序和y坐标的递减顺序对细分进行排序。如果段（a，b）>，则给定此顺序。（a'，b'）我们保证a>＆gt; a'或a = a'但b < B”。无论哪种方式，（a，b）都不能包含（a'，b'）。剩余段的数量是n减去该排序数组中段k的索引。让我们注意那些细分市场。

在这些段中，我们可以使用相反的顺序（减小y然后增加x），并且段k的索引相当于Sk中不包括在段k中的段数。

这里的诀窍是，计算直接包含的段很难，但计数包括段+左侧（或右侧）的非包含段很容易。

总结伪代码：

segments as triples (low,high,id)
orderedXY = sort segments first inc. x then dec. y then inc. id
orderedYX = sort segments first dec. y then inc. x then inc. id
return max(n - orderedXY.find(id=k) - orderedYX.find(id=k) - 1, for every id k)

由于这两种类型，该算法为O（n log n）。

编辑：为了处理重复的段，我们必须对第三个键（段的id）进行排序。这样排序就很稳定了。

编辑'：为了确保每个段只计算一次，我们需要减去1。

用于计算最大数量的子分段的算法

2 个答案: