在一定距离后获得一个catmull rom spline的点？

Question

如果我有一定长度的Catmull-Rom spline，我如何计算其在一定距离的位置？通常，要计算catmull rom样条曲线中的点，您输入一个介于0和1之间的值以通过比例获取其位置，我该如何对距离进行此操作？例如，如果我的样条曲线长度为30个单位，我怎样才能在距离8处获得它的位置？

我问的原因是因为似乎catmull rom样条曲线在[0,1]域中给出点并不能保证它会给你那个距离进入样条曲线的点，例如如果我输入0.5到a长度为30的catmull romspline并不意味着我将在样条曲线的15处获得位置，除非样条本身实际上是一条直线。

Answer 1

通常的方法是存储每个段的长度，然后找出一个段的部分长度，你用ε值增加t并计算2个点之间的线性距离，直到你找到答案。显然，你的epsilon越小，你获得的结果越好，但它会给出惊人的好结果。我用这种方法沿着catmul-rom以恒定的速度移动，你看不到它加速和减速......它以恒定的速度移动。显然，取决于你的细分市场有多紧，你的epsilon值需要改变，但一般来说，你可以选择一个“足够好”的epsilon，一切都会好的。

非迭代地找到答案是非常昂贵的（我已经看到了一段时间的推导并且它并不漂亮;））。你将不得不有一个微小的epsilon值来改善性能......

Answer 2

另一个链接： Anti-Grain Geometry库中的Adaptive Subdivision of Bezier Curves
主要是在像素网格上绘制贝塞尔曲线的不同问题 用宽刷子，但看到最后 （补充:) Antigrain还有一个可爱的例子/ bspline.cpp 你可以移动结并改变中间点的数量。

Answer 3

Goz的答案是准确的 - 这是related discussion about length of Bezier curves。海报的总结是，与计算确切答案相比，进行近似计算（并且更简单）更少。这是适用的，因为您可以更改参数样条曲线的基础，因此您可以将Catmull-Rom曲线转换为贝塞尔曲线段。

对于近似，你基本上将它分解为具有简单分析长度的基元，然后将所有简单长度相加。虽然大多数人使用线段，但您确实会收缩。您可以通过使用小段来最小化误差，但是近似值总是小于非线性曲线的真实长度。

如果你需要更高的精度，那么paper from jgt会讨论如何使用圆作为近似基元，这显然更快/更准确，但实现起来并不困难。它们包括一个示例C实现。