图中的约束最短路径

Question

这是我在网上法官网站上发现的问题：

我有一个无向图（带有循环）。我们在图中有不同类别的顶点。您可以将第1类顶点视为绿色，将第2类顶点视为红色，依此类推。还有一类特殊的顶点颜色（稍后）。

现在，用户将指定源顶点，目标顶点和一系列不同顶点类（非白色），例如。

我们获得了源顶点10，目标顶点40和序列：红色 - >蓝色 - >黑色。

我们必须找到最短路径，使得路径从顶点10开始，接触1个红色顶点，然后是1个蓝色和1个黑色顶点，然后到达顶点40。然而，路径可以根据需要拥有尽可能多的白色顶点。它还可以遍历白色顶点两次。

因此解决方案可以是：10-> 20（白色） - > 35（红色） - > 21（白色） - > 22（白色） - > 30（蓝色） - > 34（黑） - →40

不正确：

10→20（白色） - →30（蓝色） - ＆GT; 21（白色） - ＆GT; 22（白色） - →35（红色） - ＆GT; 34（黑色） - →40 （在红色之前变为蓝色）

10→20（白色） - →35（红色） - ＆GT; 56（红色） - ＆GT; 21（白色） - ＆GT; 22（白色） - →30（蓝色） - ＆GT; 34 （黑色） - ＆gt; 40（穿过红色两次）

Answer 1

你可以使用dijkstra算法和附加标志来显示顶点的路径是否满足条件。

Answer 2

假设A1 （稍后解除）：序列S中没有颜色存在两次。

然后我们可以使用以下算法B1 ：

1. 在有向图G'中以下列方式变换图G：
   • G'与G
   具有相同的节点
   • 如果v是白色节点且G中存在（v，u），则将（v，u）和（u，v）插入G'
   • 如果（v，u）存在于G中，（color（v），color（u））存在于S中，则插入（v，u）in G'
   • 忽略G的所有其他边（包括循环）。
2. 为所有边缘指定相同的权重
3. 在G'上执行最短路径算法，例如，Bellman-Ford

现在我们放松A1：假设A2：在S中只有一种颜色存在多次

算法B2 ：

1. wl.o.g.，c0是在S中存在多次的颜色，更确切地说是n次。
2. 将S分为子序列S1，S2，...，其中S1 =（c1，c2，...，c0），S2 =（c3，...，c0）......
3. 通过关于每个S_i
的B1的步骤1的变换G生成图G1，G2 ......
4. 通过连接G1，G2，...... Gn形成图G'
   • 将每个节点与G1中的颜色c0连接，颜色为c3的每个节点和G2
   中的任何白色节点
   • 对G2和G3等做同样的事。
5. 在G1中使用源最短路径algortihm，在Gn
中应用目标

延伸到序列中的几种重复颜色：

将序列拆分为没有重复颜色的序列，并类似地应用B2。

Answer 3

我可以根据使用bfs修改完成的简单图形修改建议 O（n *（n + m））解决方案。让我一步一步地描述它。

图表修改。

1. 为了避免任何麻烦，颜色来源和白色顶点呈现出某种独特的颜色。
2. 制作图表加权。原始边缘的重量 1 。
3. 对于每对彩色顶点 u，v 添加边（u，v），其权重等于从u到v的最短白色路径。 白色路径是仅通过白色顶点的路径。如果没有这样的白色路径，请不要添加边缘。
4. 删除所有白色顶点及其相邻边。

第二点可以通过从仅通过白色顶点的每个顶点运行 bfs 来完成。这将在O（n *（n + m））中运行。

<强>等价性。

现在我们有一个没有白色顶点的加权彩色图形，并且很容易看到修改后问题保持不变 - 我们仍然需要找到从源顶点到目标顶点的最短路径（现在就边缘权重和而言）。

搜索算法。

要解决此图表上的问题，请运行bfs的变体，其中的图层对应于提供的路径的颜色。这意味着，如果给出路径为红色 - >蓝色 - >黑色，则第一个移动bfs将进入与源相邻的所有红色顶点，然后移动到与那些红色标记相邻的所有蓝色，然后到达与那些相邻的所有黑色蓝色标记，最后到目标。当某个顶点被推入bfs队列时，请记住它的路径长度以备将来使用。

<强>伪代码。

1. currentVertexes = {（source，0）} //顶点和路径长度
2. i 从 0 到sizeof （ givenPath ）执行
   1. nextColor = givenPath [i]
   2. nextVertexes = {}
   3. for （v，len） in currentVertexes 做
      for all u s.t.存在边 e：=（v，u） 和 u.color = nextColor
      nextVertexes .insert（（u，len + e.length））
   4. currentVertexes = nextVertexes
3. 选择存储在 currentVertexes 中的最小长度，因为只有（目标，长度）对。

<强>复杂度：

图形修改需要 O（n *（n + m））运行时间，第二部分将运行 O（n * n），因为给定的长度path不能超过n（语句中没有颜色重复），并且在每一步中 currentVertexes 中最多只能有n个顶点。总复杂度为 O（n *（n + m））+ O（n * n）= O（n *（n + m））