Question

我试图找到独立的列来解决线性方程组。这是我的简化示例：

> mat = matrix(c(1,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,1,0,0,1,-1), nrow=4, ncol=6, dimnames=list(c("A", "B", "C", "D"), paste("v", 1:6, sep="")))
> mat
  v1 v2 v3 v4 v5 v6
A  1 -1  0  0 -1  0
B  0  1 -1  0  0  0
C  0  0  1 -1  0  1
D  0  0  0  0  1 -1

矩阵是满级：

qr(mat)$rank

给了我4，由于有6列，应该有6-4 = 2个独立的列，我可以从中计算其他列。我知道列v4和v6是独立的......我的第一个问题是，如何找到这些列（可能是qr（mat）$ pivot）？

通过在纸上重新排列线性方程，我看到了 [v1，v2，v3，v4，v5，v6] = [v4，v4-v6，v4-v6，v4，v4，v6，v6]

因此我可以从v4和v6的任意值中找到位于零空间中的向量，方法是将v4和v6与下面的向量相乘：

v4 * [1,1,1,1,0,0] + v6 * [0,-1,-1,0,1,1]

我的第二个问题是：如何找到这些向量，这意味着如何解决v4和v6的矩阵？例如

qr.solve(mat, cbind(c(0,0,0,0), c(0,0,0,0)))

给了我两个长度为6的向量，只有零。

感谢任何帮助，非常感谢！

-H -

Answer 1

使用数据透视信息查找一组独立列：

q <- qr(mat)

mmat <- mat[,q$pivot[seq(q$rank)]]

mmat
##   v1 v2 v3 v5
## A  1 -1  0 -1
## B  0  1 -1  0
## C  0  0  1  0
## D  0  0  0  1

qr(mmat)$rank
## [1] 4

为什么这样做？ pivot的含义在QR.Auxiliaries {base}中提出?qr.Q。特别是：

qr.R returns R. This may be pivoted, e.g., if a <- qr(x) then x[, a$pivot] = QR.
The number of rows of R is either nrow(X) or ncol(X) (and may depend on whether
complete is TRUE or FALSE).

为了数值稳定性，进行透视以使特征值以递减的绝对值排序。这也意味着任何0个特征值都在q$rank的{{1}}之外（在当前示例中不存在，q$pivot是4x4正交矩阵）。< / p>

Q中的最后一行显示了这种关系：

QR.Auxiliaries {base}

Answer 2

如果从v4和v6开始，那么在第1和第2列中需要另外2个非零值，因此您需要选择v1和v2或v3。这些都是可能具有最高排名的基础选择。

> qr(mat[, c(1,2,4,6)])$rank
[1] 4
> qr(mat[, c(1,2,3,5)])$rank
[1] 4
> qr(mat[, c(1,3,4,6)])$rank
[1] 4

根本不是“独立列”是唯一确定的情况。可能存在必然依赖的列集，例如，彼此的标量倍数，但这不是这种情况。

另一方面，这将是排名不足：

> qr(mat[, c(1,2,3,4)])$rank
[1] 3

矩阵中的R独立列

2 个答案: