big-O表示法的指数

Question

3 ⁿ = O（2 ⁿ ）？怎么样（3/2） ⁿ = O（2 ⁿ ）？你能解释一下这个答案吗？

我第一次得到假，因为3 ⁿ 增长得快于2 ⁿ ，无论C乘以2 ⁿ 。第二个也一样吗？

log（3 ⁿ ）= O（log（2 ⁿ ））怎么样？我想我们无法确定这一点，因为我们不知道日志的基础。

Answer 1

让我们实际证明一个更强的结果：对于任何常数r ₀ 和r ₁ ，其中1≤r ₀ ＆lt; r ₁ ，确实r ₀ ⁿ = O（r ₁ ⁿ ）并且r ₁ ⁿ = r ₀ ⁿ 是错误的。这证明了你的结果是一个特例，因为1＆lt; 3/2＆lt; 2。

为证明第一部分，我们将证明r ₀ ⁿ = O（r ₁ ⁿ ）。为此，我们将使用big-O的定义并找到n ₀ 和c的值，使得对于任何n＆gt; n ₀ ，我们有

  

r ₀ ⁿ ≤cr ₁ ⁿ

我们可以选择n = n ₀ 并且可以选择c = 1.然后上面的不等式成立，所以根据定义我们得到r ₀ ^{n < / sup> = O（r ₁ n ）。}

为证明第二部分，我们将证明r ₁ ⁿ ≠O（r ₀ ⁿ ）。要做到这一点，我们将继续矛盾。为了矛盾起见，假设存在c和n ₀ 的选择，使得对于任何n> 0。 n ₀ ，我们有

  

r ₁ ⁿ ≤cr ₀ ⁿ

记录双方的日志

  

n log r ₁ ≤log（c r ₀ ⁿ ）

     

n log r ₁ ≤logc + n log r ₀

     

n（log r ₁ - log r ₀ ）≤logc

     

n log（r ₁ / r ₀ ）≤logc

     

n≤logc /（log（r ₁ / r ₀ ））

但现在我们遇到了麻烦，因为这个陈述应该适用于任何n的选择。但是，如果我们选择n大于log c /（log（r ₁ / r ₀ ）），则该语句将变为false。

我们已经达成了矛盾，所以我们的假设一定是错的。因此，如果1＆lt; r ₀ ＆lt; r ₁ ，我们得到r ₁ ⁿ ≠O（r ₀ ⁿ ）。

希望这有帮助！