使用2个数字求和的方法数

Question

我需要使用数字1和2找到一个总和（比如说1000000）的方法数量。顺序很重要。我使用组合制作了一个解决方案：

其中n是总和。

示例：

对于n=7，有21种方法。

1111111,111112,111121,111211,112111,121111,2111111,12122 .... 1222,2122,2212,2221

这个数字可能非常大，我必须找到一些大的素数模数。 （是的，它是在线编码竞赛的一个小问题）。 我需要一个更加电脑友好的配方..请帮忙吗？ 或者可以通过创建递归和矩阵求幂来完成它？

Answer 1

这样做的方式数等于第n个Fibonacci数，F（n），易于计算。

通过归纳证明。假设n为真。考虑一个长度为n + 1的序列。这可以通过将总n或2的序列加1到总n-1的序列来形成。这是不同的，代表了所有可能性。

所以F（n + 1）= F（n）+ F（n-1） F（1）= 1

干净，呵呵？

Answer 2

您要查找的数字是第n个斐波纳契数。 最好的方法（因为你说n可能非常大）是实现这个递归O(log n)公式（这些是2x2矩阵，对于丑陋的格式感到遗憾）。

[F(n+2)] = [1 1] [F(k+1)]
[F(n+1)]   [1 0] [F (k) ]

也许明确的形式会更适合你，而不是递归的形式：

[1 1]^n = [F(k+1)   F(k) ]
[1 0]     [ F(k)   F(k-1)]

这是我所知道的计算斐波纳契数的最快方法。 请记住，输出增长非常快，因此您无法缓存大n的结果。

Answer 3

以下是我提出的建议：

def onesAndTwos(num):
    if num <= 0:
        return set()
    elif num == 1:
        return set([(1, 0)])
    elif num == 2:
        return set([(2,0), (0, 1)])
    else:
        setA = set([(1 + x[0], x[1]) for x in onesAndTwos(num-1)])
        setB = set([(x[0], 1 + x[1]) for x in onesAndTwos(num-2)])
        setA.update(setB);
        return setA

print onesAndTwos(10)
print len(onesAndTwos(10))

它使用一组元组，其中第一个元素是一个元素，第二个元素是二元组的数量。因此可以使用set[(3,0), (1,1)]生成3的总和。要查找有多少组合，您可以计算集合中的元组。输出为10：

set([(8, 1), (6, 2), (0, 5), (4, 3), (10, 0), (2, 4)])
6

这有点像动态编程方法，我们在整个过程中都有一组重复的子问题和类似的结构，这使我们能够在之前的解决方案的基础上进行构建。这不是最佳的，因为你没有在两个分支中重复使用先前计算的值（第一个拿走1时，第二个拿走2时），所以我认为这是一个天真的解决方案。

Answer 4

public class Fibonacci {
    public static int magic(int input) {
        if (input == 1) {
            return 1;
        } else if (input == 2) {
            return 2;
        } else {
            return magic(input-1) + magic(input-2);
        }
    }

    public static void main(String args[]) {
        int input = 7;
        int numberOfCombinations = magic(input);
        System.out.println("The total number of combinations for the given integer "+input+" is "+numberOfCombinations);
    }
}

完整且可正常运行的Java代码。随意使用它为您的比赛。我希望代码对底层算法不言自明。祝你好运！