Question

我的问题是在JavaScript中快速计算(g^x) mod p，其中^是取幂，mod是模运算。所有输入都是非负整数，x大约有256位，p是2048位的素数，g最多可以有2048位。

我发现可以在JavaScript中执行此操作的大多数软件似乎都使用JavaScript BigInt库（http://www.leemon.com/crypto/BigInt.html）。在我的慢速浏览器（使用SpiderMonkey的Firefox 3.0）上使用此库执行此类大小的单次取幂大约需要9秒。我正在寻找一种至少快10倍的解决方案。使用square-and-multiply（通过平方取幂，http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring）的明显想法对于2048位数来说太慢了：它需要多达4096次乘法。

升级浏览器不是一种选择。使用其他编程语言不是一种选择。将数字发送到Web服务不是一种选择。

是否实施了更快的替代方案？

更新：通过按照下面的答案中提到的文章http://www.ccrwest.org/gordon/fast.pdf的建议做一些额外的准备工作（即预先计算几百个权力），可以使用最多只进行2048位模幂运算354模块化乘法。（传统的square-and-multiply方法要慢得多：它使用最多4096次模乘。）这样做可以在Firefox 3.0中将模幂运算速度提高6倍，在Google Chrome中提高4倍。我们没有得到4096/354的全速加速的原因是BigInt的模块化指数算法已经比平方和乘法更快，因为它使用蒙哥马利减少（http://en.wikipedia.org/wiki/Montgomery_reduction）。

更新：从BigInt的代码开始，似乎值得做两个级别的手动优化（和内联）Karatsuba乘法（http://en.wikipedia.org/wiki/Karatsuba_algorithm），然后才恢复到基础-32768 O（n ^ 2）乘法在BigInt中实现。对于2048位整数，这会使乘法乘以2.25倍。不幸的是，模运算不会变得更快。

更新：使用http://www.lirmm.fr/arith18/papers/hasenplaugh-FastModularReduction.pdf中定义的修改后的Barrett缩减和Karatsuba乘法和预计算能力（如http://www.ccrwest.org/gordon/fast.pdf中所定义），我可以将单次乘法所需的时间从73秒减少到12.3 Firefox 3.0中的秒数。这似乎是我能做的最好的，但它仍然太慢了。

更新：Flash Player中的ActionScript 2（AS2）解释器不值得使用，因为它似乎比Firefox 3.0中的JavaScript解释器慢：对于Flash Player 9，它似乎慢了4.2倍，并且对于Flash Player 10，它似乎慢了2.35倍。是否有人知道ActionScript2和ActionScript3（AS3）之间的速度差异是否为数字运行？

更新：Flash Player 9中的ActionScript 3（AS3）解释器不值得使用，因为它与JavaScript int Firefox 3.0的速度几乎相同。

更新：如果使用int而不是Number，那么Flash Player 10中的ActionScript 3（AS3）解释器可以比Firefox 3.0中的JavaScript解释器快6.5倍，并且{{1使用}代替Vector.<int>。对于2048位大整数乘法，至少它快2.41倍。因此，在AS3中进行模幂运算可能是值得的，如果可用的话，在Flash Player 10中执行它。请注意，这仍然比谷歌Chrome的JavaScript解释器V8慢。有关各种编程语言和JavaScript实现的速度比较，请参阅http://ptspts.blogspot.com/2009/10/javascript-and-actionscript-performance.html。

更新：有一个非常快速的Java解决方案，如果安装了Java插件，可以从浏览器的JavaScript调用。以下解决方案比使用BigInt的纯JavaScript实现快约310倍。

Array

任何人都可以将此代码翻译为Silverlight（C＃）吗？

Answer 1

可以接受一些可以从JS调用的客户端技术，例如Java applet或Flash电影吗？ BigInt的approach已经相当快了。您可以调整BigInt，或者您可以尝试different algorithm，但您可能无法获得一个数量级的改进。

Answer 2

我使用“％”表示模块（mod），“/”表示整数除法。令函数f（p，g，x，r）在r

bigint_t f(p,g,x,r) {
  bigint_t i, z = g, y;
  for (i = 1; i < x; ++i) {
    y = z; z *= g;
    if (z > p) break;
  }
  if (i >= x - 1) return r*z%p; // g^x*r%p = g^x*r
  else return f(p,y,x/i,g^(x%i)*r%p); // reduce to (r*g^(x%i)%p)*(g^i)^(x/i)%p
}

此例程涉及更多计算，但每个整数小于4096位，通常远小于g ^ x。我相信这可能比直接计算更有效。另请注意，g ^（x％i）可以更快的方式计算，因为我们已经计算了g ^（i + 1）。

编辑：见this post。 Mehrdad提供了正确（和更好）的解决方案。

Answer 3

为什么不使用像C这样的更合适的语言在某种Web服务中使用服务器端呢？然后，时间将是一次往返（少于9秒）的时间，加上服务器使用本机代码中的一些BigInt库计算结果的时间。这可能会快得多。

Answer 4

在JavaScript上尝试从http://code.google.com/p/bi2php/进行蒙哥马利模块缩减。

Answer 5

我很想看到修改过的BigInt库的源代码 - 它可以在任何地方使用吗？

JavaScript中最快的模幂运算

5 个答案: