态射 - 在Coq中使用不可转换的术语

Question

我在Coq中有以下功能。现在我想定义一个实例，如下所示。在我的例子中，类型[nat]的等价[==]被定义但不在[StringMap.t String.t]上。请解决Instace SC_Proper。谢谢。

Definition SC (u: nat) (zm: StringMap.t String.t):
  StringMap.t String.t :=
 match u with
 | S p =>   match p with  
                 | 2  => zm 
                 | _ => 
                      match StringMap.find "S" zm with
                      | Some k => StringMap.empty 
                      | _ => zm  
                      end
                end
  | O => zm
 end.


 Instance SC_Proper 
 : Proper (equiv ==> equiv ==> equiv) SC.
Proof with o.
 repeat red. intros u u' Hu zm1 zm2 Hzm.
Admitted.