在浏览Data.Set的文档时，我看到了insertion of an element into the tree is mentioned to be O(log(n))。但是，我会直观地期望它是O（n * log（n））（或者可能是O（n）？），因为参照透明度需要在O（n）中创建前一个树的完整副本。
我理解，例如(:)可以是O（1）而不是O（n），因为这里不必复制完整列表;新的列表可以由编译器优化为第一个元素加上指向旧列表的指针（请注意，这是一个编译器 - 而不是语言级别 - 优化）。但是，将值插入Data.Set涉及重新平衡，这对我来说非常复杂，我怀疑有类似于列表优化的东西。我试过阅读the paper that is referenced by the Set docs，但无法回答我的问题。
那么：如何在一个（纯粹的）函数式语言中将元素插入到二叉树中是O（log（n））？
答案 0 :(得分：16)
为了在其中插入元素，无需制作Set的完整副本。在内部，元素存储在树中，这意味着您只需要沿插入路径创建新节点。可以在Set的插入前和插入后版本之间共享未触及的节点。正如Deitrich Epp指出的那样，在平衡树中O(log(n))是插入路径的长度。 （很抱歉忽略这个重要的事实。）
假设您的Tree类型如下所示：
data Tree a = Node a (Tree a) (Tree a)
| Leaf
...并说你有Tree看起来像这样
let t = Node 10 tl (Node 15 Leaf tr')
...其中tl和tr'是一些命名的子树。现在假设您要将12插入此树中。嗯，这看起来像这样：
let t' = Node 10 tl (Node 15 (Node 12 Leaf Leaf) tr')
子树tl和tr'在t和t'之间共享，您只需要构建3个新的Nodes来执行此操作，即使t的大小可能远大于3。
编辑：重新平衡
关于重新平衡，请考虑这样，并注意我在这里没有严格要求。假设你有一棵空树。已经平衡了！现在说你插入一个元素。已经平衡了！现在说你插入另一个元素。嗯，有一个奇数，所以你不能做那么多。
这是棘手的部分。假设您插入另一个元素。这可以有两种方式：左或右;平衡或不平衡。如果它不平衡，您可以清楚地执行树的旋转以平衡它。如果它是平衡的，已经平衡了！
这里需要注意的重要一点是，经常重新平衡。它不像你有一堆树，决定插入一个元素，但在你这样做之前，你重新平衡，然后在你完成插入后留下一团糟。
现在说你继续插入元素。树的会变得不平衡，但不是很多。当确实发生这种情况时，首先你要立即纠正它，其次，沿着插入路径进行校正，在平衡树中O(log(n))。您链接到的纸张中的旋转最多触摸树中的三个节点以执行旋转。所以你在重新平衡时正在做O(3 * log(n))工作。那还是O(log(n))。
答案 1 :(得分：7)
为了更加强调dave4420在评论中所说的内容，使(:)在恒定时间内运行不涉及编译器优化。您可以实现自己的列表数据类型，并在一个简单的非优化Haskell解释器中运行它，它仍然是O（1）。
列表被定义为一个初始元素加一个列表（或者它在基本情况下为空）。这是一个等同于本机列表的定义：
data List a = Nil | Cons a (List a)
因此，如果你有一个元素和一个列表，并且你想用Cons构建一个新的列表，那就是直接从构造函数所需的参数创建一个新的数据结构。甚至不需要检查尾部列表（更不用说复制它），而不是在执行Person "Fred"之类的操作时检查或复制字符串。
当你声称这是编译器优化而不是语言级优化时，你就错了。此行为直接来自列表数据类型的语言级别定义。
类似地，对于定义为项目加上两棵树（或空树）的树，当您将项目插入非空树时，它必须位于左侧或右侧子树中。您需要构造包含该元素的该树的新版本，这意味着您需要构造一个包含新子树的新父节点。但其他子树根本不需要遍历;它可以按原样放入新的父树中。在平衡树中，这是可以共享的树的完整一半。
递归地应用这种推理应该表明实际上根本不需要复制数据元素;在路径上只需要新的父节点，直到插入元素的最终位置。每个新节点存储3件事：一个项目（直接与原始树中的项目引用共享），一个未更改的子树（直接与原始树共享），以及一个新创建的子树（几乎所有子结构都与原始子树共享）树）。在平衡树中会有O（log（n））。