Question

这不是一个功课问题，我只是对我对间隔算术的理解以及练习2.16的含义不满意。

2.14节定义的区间算术不具有正常算术的属性。两个应该是等效的操作，（r1 * r2）/（r1 + r2）和1 /（1 / r1 + 1 / r2），给出不同的结果。练习询问为什么会出现这种情况，并且如果有可能构造一个间隔算术系统，而不是这种情况。

该部分正在解决电气元件电阻误差范围的计算问题。我不确定我理解用这些术语来表示乘法和除法间隔是什么意思。将两个区间相乘的应用是什么？

在这个例子中是否可以构造一个没有问题的区间运算系统？

http://mitpress.mit.edu/sicp/full-text/book/book-Z-H-14.html#%_sec_2.1.4

(define (make-interval a b)
  (cons a b))

(define (make-center-width c w)
  (make-interval (- c w) (+ c w)))

(define (make-center-percent c p)
  (make-center-width c (* c (/ p 100.0))))

(define (lower-bound i)
  (car i))

(define (upper-bound i)
  (cdr i))

(define (center i)
  (/ (+ (upper-bound i) (lower-bound i)) 2))

(define (width i)
  (/ (- (upper-bound i) (lower-bound i)) 2))

(define (percent i)
  (* 100.0 (/ (width i) (center i))))

(define (add-interval x y)
  (make-interval (+ (lower-bound x) (lower-bound y))
                 (+ (upper-bound x) (upper-bound y))))

(define (sub-interval x y)
  (make-interval (- (lower-bound x) (lower-bound y))
                 (- (upper-bound x) (upper-bound y))))

(define (mul-interval x y)
  (let ((p1 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p2 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p3 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p4 (* (lower-bound x) (lower-bound y))))
    (make-interval (min p1 p2 p3 p4)
                   (max p1 p2 p3 p4))))

(define (div-interval x y)
  (if (= (width y ) 0) 
      (error "division by interval with width 0")
      (mul-interval x
                    (make-interval (/ 1.0 (upper-bound y))
                                   (/ 1.0 (lower-bound y))))))

(define (parl1 r1 r2)
  (div-interval (mul-interval r1 r2)
                (add-interval r1 r2)))

(define (parl2 r1 r2)
  (let ((one (make-interval 1 1)))
              (div-interval one
                           (add-interval (div-interval one r1)
                                         (div-interval one r2))))

(define (r1 (make-interval 4.0 3.2)))
(define (r2 (make-interval 3.0 7.2)))

(center (parl1 r1 r2))
(width (parl1 r1 r2))
(newline)
(center (parl2 r1 r2))
(width (parl2 r1 r2))

Answer 1

这是因为区间运算中的运算没有field的算术结构。

正如Sussman所说，练习很难 - 你需要检查场结构的每个操作，看看哪个不满意。

练习要求我们证明区间运算不是函数范围的算术。

在域[-1,1]上定义的类似f（x）= x ^ 2的函数具有范围[0,1]，包含在[-1,1] * [-1,1] = [-1,1]中，通过将符号x替换为符号{{1}的域来获得1}}。

如果我们定义一个类似的函数，对每个维度使用不同的变量，比如在f（x，y）= x * y中，那么这个函数的范围，在域[-1,1]上定义时* [-1,1]与区间[-1,1] * [-1,1] = [-1,1]相同，因为x使用一次，因此使用y。

当函数f（..，x，..）在每个变量x中连续出现时，如果每个符号只使用一次，我们将范围算术与区间算法相同在f。

的定义中

在Alice的第一个公式中，计算并联电阻重复变量R1的2倍，变量R2的2倍，并使用相同的参数包含此函数的范围在产品中得到的相应间隔函数的公式，通过相应的每个名称替换域间隔，但不完全相同。

我们被要求重写任何函数，使得重写函数的范围与通过应用重写函数的公式获得的间隔相同，其名称由等于来自重写函数的相应名称的域的间隔替换，或表明每个可能的功能都不可能。

这个问题被称为“依赖性问题”，它很大问题，其理解超出了SICP的目的，并且需要多个变量中的微分方程来解决它。

正如Sussman自己所说，这个练习的目的只是为了表明数据可以用多种方式编码。重点不是数学，而是数据抽象。

Answer 2

理解问题的最简单方法是查看非常简单的表达式 e = x/x，其中 x 在 [2,3] 中。如果我们使用区间算术，我们会得到 e 在 [2/3, 3/2] 中，但是二年级算术显示 e=x/x=1。那么是什么？

其实很简单：在使用区间算术时，我错误地假设x可以同时具有两个不同的值。 e 的最大值在分子为 3 且分母为 2 时给出，但由于两者应始终相同，因此这是不可能的。

那么，是否有可能使用区间算法？是的，当所有区间只出现一次时，你就不会有在不同区间计算中同一变量值不同的问题。

有没有可能创建一个没有这个问题的算术包？不，因为不是每个函数都可以写成每个变量只出现一次的地方。此问题称为 dependency problem。

SICP 2.16区间算术（方案）

2 个答案: