整数分区（算法和递归）

Question

查找总和数的多少组合（代码中的变量 n ）。例如：

  

3 = 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3 =＆gt; ANS是3

     

5 = 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =＆gt; ANS是7

在以下示例中， m 是最大数字，n是总和， 目的是找出它有多少（总和）组合。

我只是想知道为什么p(n, m) = p(n, m - 1) + p(n - m, m)？

这里的代码：

int p (int n, int m)
{
    if (n == m)
        return 1 + p(n, m - 1);
    if (m == 0 || n < 0)
        return 0;
    if (n == 0 || m == 1)
        return 1;

    return p(n, m - 1) + p(n - m, m);

}

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Answer 1

通过添加小于或等于n的某些数字，考虑所有生成m的方法。如你所说，我们称之为p(n,m)。例如，p（7,3）= 8，因为有8种方法可以使7个数字小于3，如下所示:(为简单起见，我们可以假设始终按照从最大到最小的顺序添加数字）

• 3 + 3 + 1
• 3 + 2 + 2
• 3 + 2 + 1 + 1
• 3 + 1 + 1 + 1 + 1
• 2 + 2 + 2 + 1
• 2 + 2 + 1 + 1 + 1
• 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
• 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

现在我们可以将这些组合分成两组：

1. 第一个元素等于m的组合（在我们的示例中= 3）

   • 3 + 3 + 1
   • 3 + 2 + 2
   • 3 + 2 + 1 + 1
   • 3 + 1 + 1 + 1 + 1

2. 第一个元素小于m的组合：

   • 2 + 2 + 2 + 1
   • 2 + 2 + 1 + 1 + 1
   • 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
   • 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

因为p(n,m)组合的每个成员都在Group1或Group2中，我们可以说p(n,m)=size(Group1) + size(Group2)。现在，如果我们通过替换证明size(Group1)=p(n-m, m)和size(Group2)=p(n,m-1)，我们就会达到p(n,m)=p(n-m,m)+p(n,m-1)

证明size(Group1)=p(n-m, m)：

按照上述定义，p(n-m, m)是通过添加小于或等于n-m的某些数字来生成m的方式的数量。

• 如果您将m附加到p(n-m, m)的每个组合，则会产生Group1的成员。所以p(n-m, m) <= size(Group1)
• 如果您删除了Group1的每个成员的第一个m，则会产生p(n-m, m)的组合。所以size(Group1) <= p(n-m, m)

=> size(Group1) = p(n-m, m)。在我们的例子中：

组1＆lt; ===对应===＆gt; p（4,3）：

• 7 = 3 + 3+1＆lt; ===========＆gt; 3+1 = 4
• 7 = 3 + 2+2＆lt; ===========＆gt; 2+2 = 4
• 7 = 3 + 2+1+1＆lt; =======＆gt; 2+1+1 = 4
• 7 = 3 + 1+1+1+1＆lt; ===＆gt; 1+1+1+1 = 4

因此p(n-m,m)的任何成员与Group1之间存在一对一的对应关系，且其大小相等。

证明size(Group2)=p(n, m-1)：

根据定义，p(n,m-1)是通过添加小于或等于n（小于m-1）的某些数字来获得m的结果的数量。如果您重新阅读Group2的定义，您将看到这两个定义彼此相同。 => size(Group2) = p(n, m-1)

Answer 2

首先，您需要了解此功能，请参阅http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html。

对于此公式，请记住p(n, m)被定义为最大成员最多n的{​​{1}}分区数。

因此m是p(n, m)的分区数，其最大成员最多为m。让我们根据最大成员实际是m来划分它们。

最大成员为m的分区数是填充m的方式数，n = m + ...是最大成员最多n-m的{​​{1}}分区数根据定义，m。

p(n-m, m)的最大成员最多n的分区数量定义为m-1。

因此p(n, m-1)。

Answer 3

        / 0 (k>n)
p(k,n)={  1 (k=n)
        \ p(k+1,n)+p(k,n-k) (k<n)

n的分区数是p（1，n）。

p（k，n）是n的分区数， 只允许加数＆gt; = k。

与OP的递归公式一样，它逐个添加它们（如luiges90所示）（增加了许多零的低效率）。幸运的是，它可以在数组内以极快的速度计算：

#include <stdio.h>

/* 406 is the largest n for which p(n) fits in 64 bits */
#define MAX 406
long long int pArray[MAX][MAX];

/* Emulate array starting at 1: */
#define p(k,n) pArray[k-1][n-1]

int main(int argc, char **argv) {

 int n, k;

 for (n = 1; n < MAX; n++) {
  for (k = n; k > 0; k--) {
   if (k > n) {
    p(k, n) = 0;
   }
   else if (k == n) {
    p(k, n) = 1;
   }
   else {
    p(k, n) = p(k, n-k)+p(k+1, n);
   }
  }
 }

 for (n = 1; n < MAX; n++) {
  printf("p(%d)=%lld\n", n, p(1,n));
 }

}

Answer 4

将p(n, m)表示为总和为n且每个加数小于或等于m的所有组合的数量。这里的关键是证明以下递归方程：

p(n, m) - p(n, m - 1) = p(n-m, m)          (1)

（1）的左边是p（n，m）和p（n，m - 1）的差值，它是包含至少一个m作为加数的所有组合的数量，剩余的总和为n-m（总体为n），除了每个加数小于或等于m。但这恰恰意味着p（n-m，m），这是（1）的右侧。

显然，问题的答案应该是p（n，n）。