从垂直方向计算角度，球体撞击杯子的唇部

Question

我正在处理一个问题，其中已知半径的球体垂直落下并撞击杯子的边缘。我需要弄清楚偏转的角度，这将是球体接触发生的位置的函数。即，如果接触点是死点（极点），则偏转角为0.离极点越远，偏转角越大。

在整个问题的制定过程中（这只是其中的一部分），我严格使用x-y平面上的投影，所以我唯一的信息是关于投影的圆圈。我知道圆球和圆圈中心的位置，它们的半径，以及（向下投射）重叠的大小。

如果我只有从杆到接触点的弦长，我可以计算偏转角。如何从x-y投影中得到这个和弦的长度？附图显示了问题的制定方法。

Answer 1

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非常感谢我的朋友Andrew McHugh博士帮助我看到解决方案。我忽略了我可以通过知道从杯子的唇部到球的垂直轴的水平距离（X）来计算角度θ。那么θ就是X与半径（r）之比的反正弦。在x-y平面投影中，X是半径 - 连接重叠透镜区域（d）的尖点的线。因此，theta = arcsin（（r-d）/ r）。