Question

我正试图抓住Python的fft功能，而我偶然发现的一个奇怪的事情是Parseval's theorem似乎不适用，因为它给出的差异大约为50现在，虽然它应该是0。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.fftpack as fftpack

pi = np.pi

tdata = np.arange(5999.)/300
dt = tdata[1]-tdata[0]

datay = np.sin(pi*tdata)+2*np.sin(pi*2*tdata)
N = len(datay)

fouriery = abs(fftpack.rfft(datay))/N

freqs = fftpack.rfftfreq(len(datay), d=(tdata[1]-tdata[0]))

df = freqs[1] - freqs[0]

parceval = sum(datay**2)*dt - sum(fouriery**2)*df
print parceval

plt.plot(freqs, fouriery, 'b-')
plt.xlim(0,3)
plt.show()

我很确定它是一个归一化因子，但我似乎无法找到它，因为我能找到的有关此函数的所有信息都是scipy.fftpack.rfft documentation。

Answer 1

归一化因子来自于尝试将Parseval定理应用于连续信号的傅里叶变换到离散序列。在the wikipedia article on the Discrete Fourier transform的侧面板上，讨论了傅里叶变换，傅里叶级数，离散傅里叶变换和用Dirac combs进行采样的关系。

简而言之，Parseval's theorem, when applied to DFTs不需要整合，只需要求和：通过乘以2*pi和dt汇总来创建df

另请注意，因为您使用的是scipy.fftpack.rfft，所以您得到的数据不是数据的DFT，而只是正数的一半，因为负数将与它对称。因此，由于您只添加了一半数据，加上DC术语中的0，因此缺少2来到@unutbu找到的4*pi。

在任何情况下，如果datay保存您的序列，您可以验证Parseval定理如下：

fouriery = fftpack.rfft(datay)
N = len(datay)
parseval_1 = np.sum(datay**2)
parseval_2 = (fouriery[0]**2 + 2 * np.sum(fouriery[1:]**2)) / N
print parseval_1 - parseval_2

使用scipy.fftpack.fft或numpy.fft.fft第二次总结不需要采用这种奇怪的形式：

fouriery_1 = fftpack.fft(datay)
fouriery_2 = np.fft.fft(datay)
N = len(datay)
parseval_1 = np.sum(datay**2)
parseval_2_1 = np.sum(np.abs(fouriery_1)**2) / N
parseval_2_2 = np.sum(np.abs(fouriery_2)**2) / N
print parseval_1 - parseval_2_1
print parseval_1 - parseval_2_2

Python中的Parseval定理

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