Question

我想用我能想到的Mizar数学定理证明者语言编写最简单的证明。所以我想到了以下几点：

在Nat中存在x \：x = 1

我能想到的没有什么比这更简单的了。我做了以下尝试：

:: example of a comment
environ
  vocabularies MY_MIZAR;
  :: adding Natural Numbers
  requirments SUBSET, NUMERALS, ARITHM;
::>         *210
begin

theorem Th1:
    ex x being Nat st x=1
proof
    ::consider x = 1
    :: proof is done
    x = 1;
    thus Th1;
end;
::>
::> 210: Wrong item in environment declaration

但是您可以看到Mizar不喜欢我的证明。我想念什么？

这仍然行不通：

::: example of a comment
environ
  vocabularies MY_MIZAR;
  ::: adding Natural Numbers
  requirements SUBSET, NUMERALS, ARITHM;
::>                 *856      *825
begin

theorem Th1:
    ex x being Nat st x=1
proof
    :::consider x = 1
    ::: proof is done
    set x=1;
    take x;
    thus thesis;
end;
::>
::> 825: Cannot find constructors name on constructor list
::> 856: Inaccessible requirements directive

Answer 1

有几种方法可以做到这一点：

尽管您的陈述不完全是一个示例（由于您使用的是“ Nat”类型，所以它也不完全是您的陈述）。

environ

 vocabularies NUMBERS;
 constructors ARYTM_0;
 notations NUMBERS;
 registrations ORDINAL1;
 requirements NUMERALS, SUBSET, BOOLE;

begin

1 in NAT;

ex x be object st x = 1;

ex x be object st x in NAT & x = 1;

mizar验证了这3个陈述的正确性，真实性和示范性。

如果未证明（在荒谬的意义上），它将表示* 4错误，甚至有时是* 1错误。

对于此处的3条陈述，没有明确说明证据。它包含在环境中，因为Mizar不需要您指示所有步骤，其中某些步骤是自动的。

可以以这种方式呈现，Mizar也可以接受。

environ

 vocabularies NUMBERS;
 constructors ARYTM_0;
 notations NUMBERS;
 registrations ORDINAL1;
 requirements NUMERALS, SUBSET, BOOLE;

begin

1 in NAT
proof
  thus thesis;
end;

ex x be object st x = 1
proof
  thus thesis;
end;

ex x be object st x in NAT & x = 1
proof
  thus thesis;
end;

但是在这种情况下，完整的表达方式

proof
  thus thesis;
end;

是多余的。

返回到最初的问题，并使用建议（user10715283和user10715216）。 “我们可以采用较小的环境吗？”：是的，使用特定工具（clearenv.pl，由Mizar-System提供）

environ

 vocabularies NAT_1;
 constructors NUMBERS, XCMPLX_0, XREAL_0, BINOP_1;
 notations ORDINAL1;
 registrations ORDINAL1;
 requirements NUMERALS, SUBSET;

begin

theorem Th1:
    ex x being Nat st x=1
proof
    set x=1;
    take x;
    thus thesis;
end;

Answer 2

您可以尝试以下操作：

1）修复210：错误：

x  requirments (wrong spelling)
o  requirements

2）可能会有一些新的错误关于那行的内容，所以当您刚开始，通常 “借用”已经起作用的环境，例如，您可以使用其中之一的环境线关于自然数的Mizar文章，例如 NAT_1.miz：

environ
:: adding Natural Numbers
vocabularies NUMBERS, ORDINAL1, REAL_1, SUBSET_1, CARD_1, ARYTM_3, TARSKI,
  RELAT_1, XXREAL_0, XCMPLX_0, ARYTM_1, XBOOLE_0, FINSET_1, FUNCT_1, NAT_1,
  FUNCOP_1, PBOOLE, PARTFUN1, FUNCT_7, SETFAM_1, ZFMISC_1;
notations TARSKI, XBOOLE_0, ENUMSET1, ZFMISC_1, SUBSET_1, SETFAM_1, ORDINAL1,
  FINSET_1, CARD_1, PBOOLE, NUMBERS, XCMPLX_0, XREAL_0, XXREAL_0, RELAT_1,
  FUNCT_1, PARTFUN1, FUNCOP_1, FUNCT_2, BINOP_1;
constructors NUMBERS, XCMPLX_0, XXREAL_0, XREAL_0, CARD_1, WELLORD2, FUNCT_2,
  PARTFUN1, FUNCOP_1, FUNCT_4, ENUMSET1, RELSET_1, PBOOLE, ORDINAL1,
  SETFAM_1, ZFMISC_1, BINOP_1;
registrations SUBSET_1, ORDINAL1, NUMBERS, XXREAL_0, XREAL_0, CARD_1,
  RELSET_1, FUNCT_2, PBOOLE;
requirements REAL, NUMERALS, SUBSET, BOOLE, ARITHM;
definitions SETFAM_1, TARSKI, XBOOLE_0, RELAT_1;
equalities ORDINAL1, XBOOLE_0, CARD_1;
expansions SETFAM_1, ORDINAL1, TARSKI, XBOOLE_0;
theorems AXIOMS, ORDINAL1, XCMPLX_1, XREAL_1, XXREAL_0, TARSKI, ORDINAL2,
  XBOOLE_0, CARD_1, FUNCT_2, FUNCT_1, FUNCOP_1, PBOOLE, RELSET_1, RELAT_1,
  PARTFUN1, SUBSET_1, NUMBERS, ENUMSET1, XBOOLE_1;
schemes SUBSET_1, ORDINAL2, FUNCT_2, PBOOLE, BINOP_1;

3）要以“ 1”为例，可以使用“ set”，“ take”：

proof
  set x=1;
  take x;
  thus thesis;
end;

希望这会有所帮助。

如何证明Mizar（数学定理证明语言）的自然数等于1？

2 个答案: