Coq：如何证明“a = b - ＆gt; nat_compare a b = Eq。”？

Question

为了弄清楚Coq的含义，我最终陷入了这样一种情况：我基本上需要证明a=b -> nat_compare a b = Eq。

我可以通过以下方式获得一个方便的开始：

Coq < Theorem foo: forall (a:nat) (b:nat), a=b->nat_compare a b=Eq.
1 subgoal

============================
forall a b : nat, a = b -> nat_compare a b = Eq

foo < intros. rewrite H. destruct b.

给了我：

2 subgoals
a : nat
H : a = 0
============================
nat_compare 0 0 = Eq

subgoal 2 is:
nat_compare (S b) (S b) = Eq

第一个是微不足道的：

foo < simpl. reflexivity.

但下一个目标让我感到困惑：

1 subgoal

a : nat
b : nat
H : a = S b
============================
nat_compare (S b) (S b) = Eq

我能做到

foo < rewrite <- H.

给出：

1 subgoal

a : nat
b : nat
H : a = S b
============================
nat_compare a a = Eq

（我也可以通过simpl到达这一点，这似乎更有意义。）

现在，用纸笔，我只是声称这是我的归纳证据。

我是否以正确的方式接近这一点？哪里可以最好地学习如何正确地做到这一点？

Answer 1

我能用

来证明这一点

Theorem triv : forall a b, a = b -> nat_compare a b = Eq.
  intros; subst; induction b; auto.
Qed.

这里的诀窍是让诱导性假设存在。 destruct是一种较弱的induction形式，它不会为您提供此证明所需的归纳假设。