Question

这个问题涉及对多于一位作为输入的函数讨论的Deutsch问题的直接推广。这次，我们有一个布尔函数f，它以4位数作为输入并输出0或1，即f:{0,1}4→{0,1}。因此，f的输入是16个可能的4位二进制数之一：

0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111.

我们还被告知f是以下两种类型之一：

either f is a constant function, i.e., f(x) is the same for all 16 possible values of the input x, or
f is a balanced function, i.e., f(x) is 0 for exactly 8 of the possible 16 inputs and f(x) is 1 for the remaining 8 of the possible 16 inputs.

我们被允许通过给f的电路输入x并观察输出f（x）来将f的电路用作“黑盒子”。这称为“查询”操作。

显示经典概率算法可以通过使用2个查询来确定f是平衡的还是常数，概率至少为2/3。

提示：（显然，我们不能使用确定性算法。除非确定性算法看到输出至少9个输入值，否则无法找出函数是平衡的或恒定的。）

考虑从16个可能的输入集合中均匀和随机地选择两个输入。您的最终结果可能在概率上取决于这两个查询的结果。

Answer 1

编辑：我错误地计算了一些我的概率。我现在还提到我们需要为函数f随机选择2个不同的输入，以保证如果f是平衡的，那么我们就知道了看到各种可能结果的可能性。

函数不变的先验概率未知的事实使得这个问题更难，因为这意味着我们无法直接计算任何算法的成功概率。但是，我们将能够计算界限这个概率。

我提出以下概率算法：

随机选择两个不同的4位值，并将每个值提供给函数f。
如果看到0,0或1,1输出“常数”，概率为2/3，“平衡”概率为1/3。
否则（如果看到0,1或1,0），请始终报告“平衡”。

让我们先看一下我们可以实际计算的东西：条件概率。

“什么是P（校正|常数），即假设f是常数，我们的算法给出正确答案的概率？”当f是常数时，我们的算法报告正确答案2 / 3个时间。
“什么是P（正确|平衡），即假设f是平衡的，我们的算法给出正确答案的概率？”当f平衡时，看到0,1的概率或1,0是2 *（8/16 * 8/15）= 8/15，在这种情况下肯定会输出正确的答案。在剩下的7/15个案例中 - 即看到0,0或1,1的案例 - 正确答案将在1/3的时间内输出，因此正确输出的总比例将为8/15 * 1 + 7/15 * 1/3 = 31/45 = 2/3 + 1 /45≈0.6889。

现在假设函数的先验概率是p。那么算法给出正确答案的概率是

pCorrect（p）= p * P（校正|常数）+（1-p）* P（校正）。

假设0 <= p <= 1，则pCorrect（p）必须至少为min（P（校正），P（校正）），并且至多为max（P（校正|常数）），P（纠正|平衡））。 2/3和31/45的最小值是2/3，因此，对于任何先前的函数常数概率，pCorrect从下面以2/3为界。（可能有助于想到p作为一个“混合杠杆”，控制每个术语包括多少。如果p = 0或p = 1，那么我们实际上分别有P（正确|平衡）或P（正确|常数），对于任何在p的中间值，我们将有一个中间总数。）

Answer 2

查看不同类型函数的概率，以便为两个给定值返回不同的结果：

constant  0,0  50%
constant  1,1  50%
balanced  0,0  4/8 * 3/7 = 21,4%
balanced  0,1  4/8 * 4/7 = 28.6%
balanced  1,0  4/8 * 4/7 = 28.6%
balanced  1,1  4/8 * 3/7 = 21.4%

如果结果为0,0或1,1则该函数有70％的可能性是恒定的，而对于结果0,1和1,0，该函数平衡的可能性为100％。因此，对于71.4％的情况发生的情况，我们70％确定，并且发生的情况占28.6％，我们100％确定。平均而言，我们肯定是78.6％。

Deutsch算法的推广

2 个答案: