使用SVD在MATLAB中压缩图像

Question

我是MATLAB的新手，但我正在尝试为灰度图像做一些图像压缩代码。

问题

如何使用SVD修剪低值特征值以重建压缩图像？

到目前为止的工作/尝试

到目前为止我的代码是：

B=imread('images1.jpeg');   
B=rgb2gray(B);  
doubleB=double(B);  
%read the image and store it as matrix B, convert the image to a grayscale
photo and convert the matrix to a class 'double' for values 0-255  
[U,S,V]=svd(doubleB);

这使我能够用存储在变量S中的特征值成功地分解图像矩阵。

如何截断S（167x301，类double）？让我们说一下我想要的前100个（或任何n个）的167个特征值，我该怎么做并重建压缩图像呢？

更新了代码/想法

这不是在评论部分放置一堆代码，而是我现有的草案。我已经能够通过手动更改N来成功创建压缩图像，但我还想做两件事：

1-显示各种压缩图像的面板（i / e，运行N = 5,10,25等的循环）

2-以某种方式计算每个图像与原始图像之间的差异（误差）并绘制图形。

我理解循环和输出很糟糕，但这是我尝试过的：

B=imread('images1.jpeg');  
B=rgb2gray(B);  
doubleB=im2double(B);%  
%read the image and store it as matrix B, convert the image to a grayscale  
%photo and convert the image to a class 'double'  
[U,S,V]=svd(doubleB);   
C=S;  
for N=[5,10,25,50,100]  
C(N+1:end,:)=0;  
C(:,N+1:end)=0;  
D=U*C*V';  
%Use singular value decomposition on the image doubleB, create a new matrix  
%C (for Compression diagonal) and zero out all entries above N, (which in  
%this case is 100). Then construct a new image, D, by using the new  
%diagonal matrix C.  
imshow(D);  
error=C-D;  
end

显然存在一些错误，因为我没有获得多张图片或知道如何“绘制”错误矩阵

Answer 1

虽然这个问题已经过时了，但是对于理解SVD有很大帮助。我已修改了您在问题中编写的代码，以使其正常工作。

我相信您可能已经解决了这个问题，但是对于访问此页面的任何人的未来参考，我在这里包含输出图像和图形的完整代码。

以下是代码：

close all
clear all
clc

%reading and converting the image
inImage=imread('fruits.jpg');
inImage=rgb2gray(inImage);
inImageD=double(inImage);

% decomposing the image using singular value decomposition
[U,S,V]=svd(inImageD);

% Using different number of singular values (diagonal of S) to compress and
% reconstruct the image
dispEr = [];
numSVals = [];
for N=5:25:300
    % store the singular values in a temporary var
    C = S;

    % discard the diagonal values not required for compression
    C(N+1:end,:)=0;
    C(:,N+1:end)=0;

    % Construct an Image using the selected singular values
    D=U*C*V';


    % display and compute error
    figure;
    buffer = sprintf('Image output using %d singular values', N)
    imshow(uint8(D));
    title(buffer);
    error=sum(sum((inImageD-D).^2));

    % store vals for display
    dispEr = [dispEr; error];
    numSVals = [numSVals; N];
end

% dislay the error graph
figure; 
title('Error in compression');
plot(numSVals, dispEr);
grid on
xlabel('Number of Singular Values used');
ylabel('Error between compress and original image');

将此应用于以下图像：

仅使用前5个奇异值

给出以下结果

前30个奇异值，

和前55个奇异值，

随着奇异值数量的增加，误差的变化可以在下图中看到。

在这里你可以注意到图表显示使用大约200个第一个奇异值产生大约零误差。

Answer 2

刚开始，我假设您已经意识到SVD实际上并不是将单个图像中的像素去相关的最佳工具。但这是一种很好的做法。

好的，我们知道B = U*S*V'。我们知道S是对角线的，按大小排序。因此，通过仅使用S的前几个值，您将获得图像的近似值。让我们说C=U*S2*V'，其中S2是你修改过的S.U和V的大小没有改变，所以现在最容易做的就是将你不想使用的S元素归零，并进行重建。 （最简单的方法：S2=S; S2(N+1:end, :) = 0; S2(:, N+1:end) = 0;）。

现在为压缩部分。 U已满，V也是如此，因此无论S2发生什么情况，您的数据量都不会发生变化。但是看看U*S2会发生什么。 （绘制图像）。如果您在S2中保留了N个奇异值，则只有S2的前N行非零。压缩！除了你还需要处理V。在您完成(U*S2)之后，您无法使用相同的技巧，因为U*S2的更多内容本身不是S2。我们如何在双方使用S2？嗯，这是对角线，所以请使用D=sqrt(S2)，现在使用C=U*D*D*V'。所以现在U*D只有N个非零行，而D*V'只有N个非零列。只传输那些数量，你可以重建C，大致类似于B。

Answer 3

例如，这是Lena的512 x 512 B＆amp; W图像：

我们计算Lena的SVD。选择高于最大奇异值1％的奇异值，我们只剩下 53个奇异值。用这些奇异值和相应的（左和右）奇异向量重建Lena，我们得到一个low-rank approximation的Lena：

我们可以存储2 x（512 x 53）+ 53 = 54325的值，而不是存储512 * 512 = 262144的值，而是大约原始大小的20％。这是如何使用SVD进行有损图像压缩的一个示例。

这是 MATLAB 代码：

% open Lena image and convert from uint8 to double
Lena = double(imread('LenaBW.bmp'));

% perform SVD on Lena
[U,S,V] = svd(Lena);

% extract singular values
singvals = diag(S);

% find out where to truncate the U, S, V matrices
indices = find(singvals >= 0.01 * singvals(1));

% reduce SVD matrices
U_red = U(:,indices);
S_red = S(indices,indices);
V_red = V(:,indices);

% construct low-rank approximation of Lena
Lena_red = U_red * S_red * V_red';

% print results to command window
r = num2str(length(indices));
m = num2str(length(singvals));
disp(['Low-rank approximation used ',r,' of ',m,' singular values']);

% save reduced Lena
imwrite(uint8(Lena_red),'Reduced Lena.bmp');

Answer 4

取第一个n max个特征值及其对应的特征向量可以解决你的问题。对于PCA，原始数据乘以第一个上升的特征向量将构造你的图像n x d，其中d代表特征向量的数量。