Question

在卡尔曼滤波器实现中，'预测估计协方差'，P（k | k-1），（see the wiki here）是否可能是奇异矩阵？如果没有，我的代码有问题吗？

这是状态空间模型

%    y{t}=Z{t} b{t} +  eps{t},                  eps{t} ~ N(0,H{t})
%              b{t} = Pi{t} b{t-1} + tao{t}     tao{t} ~ N(0,Q{t})
%                                               b{1} ~ N(b0,P0)
%                                               t=1,...,T

这是向后递归，作为卡尔曼滤波算法的主要部分：

for t=1:T

    v{t} = y{t} - Z{t} * b_tt_1{t};
    M{t} = P_tt_1{t} * Z{t}';
    F{t} = Z{t} * M{t} + H{t};

       F_{t}= inv(F{t});
       MF_{t}= M{t} * F_{t};

    b_tt{t}=b_tt_1{t} + MF_{t} * v{t};
    P_tt{t}=P_tt_1{t} - MF_{t} * M{t}';

    b_tt_1{t+1} = Pi{t} * b_tt{t};
    P_tt_1{t+1} = Pi{t} * P_tt{t} * Pi{t}' + Q{t};

end

这是在我使用实际数据时发生的。为了查看问题的位置，我编写了一些代码来生成随机状态空间模型（如果需要，我可以提供代码）。

当T很大时，经过一些t0后，P_tt_1 {t0}是奇异的，状态（b {t0}）发散。

编辑：我使用协方差更新方程的“约瑟夫形式”（见维基百科）。它有所帮助，但是当状态空间模型很大时（在方程或状态的数量意义上），结果仍然存在分歧。我认为这意味着问题与数值稳定性有关。有办法解决这个问题吗？

Answer 1

你的矩阵唯一可以变成单数的地方是：

F_{t}= inv(F{t});

您可以使用pseudo-inverse`pinv'代替。

如果你重写这些行，那就更好了：

F_{t}= inv(F{t});
MF_{t}= M{t} * F{t};

到

MF_{t}= M{t} / F{t};

Matlab将解决线性方程：MF_{t} * F{t} = M{t} - 即使F_ {t}是奇异的，它也可能有一个解 - 或者它仍然是通过伪逆的奇异求解。

Answer 2

问题在于inv或pinv函数的反转过程。矩阵很大，但它们也是正定的。所以我使用cholesky分解进行反演。功能是：

function A_=inversePD(A)
%A:positive definite matrix
M=size(A,1);
[R b] = chol(A);
if b~=0
    return
end
R_ = R \ eye(M);
A_ = R_ * R_';
end

卡尔曼滤波算法是否有可能导致奇异方差矩阵？

2 个答案: