选择包含K叶子的子树

Question

我得到了一棵树T，其中有n个节点和l个树叶。

我必须选择一些包含k (<=l)叶子的子树。如果我选择节点t的祖先子树，我们就无法选择t的子树。

例如：

这是树T，它有13个节点（7个叶子）。

如果我想选择k = 4叶子，我可以选择节点4和6（或节点2和5）。这是选择的最小数量。 （我们也可以选择节点6,7,8,9，但这不是最小值。）

如果我想选择k = 5叶子，我可以选择节点3，这是选择的最小数量。

我想选择最小数量的子树。我只能找到O(nk^2)和O(nk)算法，它使用BFS和动态编程。选择这个有更好的解决方案吗？

谢谢：）

Answer 1

实际上，要了解每个子树的叶子数量，您只需要通过每个节点一次，因此复杂度应为O(nm)，其中m是平均值每个节点的子节点，在大多数情况下计算为O(n)，因为m只是一个常量。要做到这一点，你应该：

• 查找树的哪些节点是叶子
• 向上移动树，为每个节点保存子树中的叶数

您可以通过从叶子开始并将父项放入队列来完成此操作。当您从队列中弹出节点n_i时，将每个子树中包含的叶子数从每个n_i的子节点开始求和。完成后，将n_i标记为已访问（因此您不会多次访问它，因为每个孩子可以添加一次）

这就是这样的：

^
|               f (3)              This node last
|              / \
|            /     \
|          /         \
|        /             \
|       d (2)           e (1)      These nodes second
|      /  \            /
|     /    \          / 
|    a (1)  b (1)    c (1)         These nodes first

步骤如下：

Find leaves `a`, `b` and `c`.
For each leave, add parent to queue   # queue q = (d, d, e)

Pop d                                 # queue q = (d, e)
Count leaves in subtree: d.leaves = a.leaves + b.leaves
Mark d as visited
Add parent to queue                   # queue q = (d, e, f)

Pop d                                 # queue q = (e, f)
d is visited, do nothing

Pop e                                 # queue q = (f)
Count leaves in subtree: e.leaves = c.leaves
Mark d as visited
Add parent to tree                    # queue q = (f, f)

Pop f                                 # queue q = (f)
Count leaves in subtree: f.leaves = d.leaves + e.leaves
Mark d as visited
Add parent to tree (none)

Pop f                                 # queue q = ()
f is visited, do nothing

您还可以使用智能数据结构来忽略添加两次的节点。请注意，您不能使用有序集，因为在“较高”节点之前探索“较低”节点非常重要。

在您的情况下，如果队列中的节点具有超过k个叶子，则可以消除队列中的节点，并返回找到的具有k个叶子的每个节点，这将提供更快的算法。