理解大师定理

Question

通用表单：T(n) = aT(n/b) + f(n)

所以我必须将n ^ logb（a）与f（n）

进行比较

如果n^logba＆gt; f(n) 案例1 和T(n)=Θ(n^logb(a))

如果n^logba＆lt; f(n) 案例2 和T(n)=Θ((n^logb(a))(logb(a)))

这是对的吗？或者我误解了什么？

案例3怎么样？适用时？

Answer 1

注意：我知道现在回答这个问题为时已晚。我只是把它放在这里为后代：）

解决复发的主要定理

复发是在解决复杂问题的分而治之的策略中发生的。

它解决了什么？

• 它解决了形式T（n）= aT（n / b）+ f（n）的复发。
• a 应大于或等于1.这意味着问题至少会减少到一次较小的子问题。至少需要一次递归
• b 应大于1.这意味着在每次递归时，问题的大小都会减小到较小的大小。如果b不大于1，那意味着我们的子问题规模不小。
对于相对较大的n值，
• f（n）必须为正。

考虑下图：

让我们说我们有一个大小n的问题需要解决。在每个步骤中，问题可以分为子问题，每个子问题的尺寸较小，其中尺寸减小了b倍。

上述陈述用简单的词语表示大小为n的问题可以分为相对较小的子问题n / b。

此外，上图显示，当我们多次划分问题时，每个子问题都会很小，以至于可以在恒定时间内解决。

对于以下推导，请考虑 log 到基数 b

让我们说H是树的高度，那么H = logn。 叶数= a ^ logn。

• 在第1级完成的总工作：f（n）
• 在第2级完成的总工作：a * f（n / b）
• 在第1级完成的总工作：a * a * f（n / b2）
• 在最后一级完成的总工作：叶数*θ（1）。这相当于n ^ loga

三个主要定理案例

案例1： 现在让我们假设操作成本在每个级别上增加一个重要因素，并且当我们到达叶级别时，f（n）的值变为多项式小于值n ^ loga。那么整体运行时间将主要由最后一级的成本决定。因此T（n）=θ（n ^ loga）

案例2： 让我们假设每个级别的操作成本大致相等。在那种情况下，f（n）大致等于n ^ loga。因此，总运行时间将是总水平数的f（n）倍。 T（n）=θ（n ^ loga * logn）其中k可以> = 0。其中logn是k> = 0

的树的高度

案例3： 让我们假设每个级别上的操作成本在每个级别上降低一个重要因子，并且当我们到达叶级别时，f（n）的值变为多项式大于值n ^ loga。那么整体运行时间将主要由第一级的成本决定。因此T（n）=θ（f（n））

如果您对更详细的阅读感兴趣，也许还有一些练习的例子。您可以随时访问我的博客条目。 Master Method to Solve Recurrences

Answer 2

我认为你误解了它。 如果n ^ logba＆gt; f（n）是情况1，T（n）=Θ（n ^ logb（a））

这里你不应该担心f（n）你得到的结果是T（n）=Θ（n ^ logb（a））。 f（n）是T（n）的一部分..如果得到结果T（n），那么该值将包括f（n）。 所以，没有必要考虑那个部分。

如果你不清楚，请告诉我。