当只有少数常数项发生变化时，如何有效地解决大型线性方程组。例如：
我目前有系统Ax = b。我计算A的逆矩阵，将其存储在矩阵中，并且每次b中的任何条目更新执行矩阵向量乘法A ^ -1（b）以重新计算x。
这是低效的，因为只有几个条目会在b中更新。当A-1保持不变但特定的已知值在b？
中发生变化时，是否有更有效的方法来解决该系统？我使用uBlas和Eigen，但不知道解决这个选择性重新计算问题的解决方案。谢谢你的指导。
答案 0 :(得分：3)
计算A^-1。如果b_i是b的第i个分量，那么检查d/db_i A^-1 b（A ^ -1相对于b的第i个分量的导数） - 它等于A^-1的列（特别是第i列）。并且线性函数的导数在其域上是恒定的。因此，如果您有b和b'，并且它们仅在第i个组件中有所不同，那么A^-1 b - A^-1 b' = [d/db_i A^-1] * (b-b')_i。对于多个组件，只需将它们相加（因为A^-1是线性的）。
或者，简而言之，您可以通过对零的输入组件进行一些优化来计算A^-1 (b'-b)（如果只有一些组件发生更改，则将是大多数组件）。 A^-1 b' = A^-1 (b'-b) + A^-1 (b)。如果您知道只有一些组件会发生变化，您可以复制A^-1的相应列，然后将其乘以b组件的变化。
答案 1 :(得分：1)
您可以利用问题的线性度：
x0 = A_(-1)*b0
x = A_(-1)*b = x0 + A_(-1)*db
其中db是b和b0之间的差异矩阵，它应该用零填充：你可以将它压缩为稀疏矩阵。
Eigen lib对于稀疏矩阵（乘法，逆，......）有很多很酷的函数。
答案 2 :(得分：0)
首先，不要计算矩阵逆，而是使用LU分解或QR分解（比LU慢但稳定）。这种分解比基质尺寸的性能反转更好，并且通常更稳定（尤其是QR）。
如果A稍微改变（例如，通过一级矩阵），有很多方法可以更新QR分解，但是如果B改变了，你必须再次使用新的b来解决 - 你无法逃避这一点，这是为O（n ^ 2）。
但是，如果右侧B仅由固定元素改变，即。 B'= B + dB，预先知道dB，你可以一劳永逸地解决A dx = dB，现在Ax'= B'的解x'是x + dX。
如果事先不知道dB但是总是几个dB_i向量的线性组合，你可以求解A dx_i = dB_i，但是如果你有很多这样的dB_i，你最终得到一个^ 2过程（这在事实相当于计算反...）
答案 3 :(得分：0)
首先，不要执行矩阵求逆，而是使用求解器库。其次，将您的初始x作为第一个猜测传递给库。
库将像LU一样执行某种分解，并使用它来计算x。如果你选择一个迭代求解器，那么它已经完成了你在解决方案中所描述的内容。它将以更糟糕的猜测开始并产生更好的结果，任何好的例程都会采取初步猜测来加速该过程。在许多情况下，无论如何你都对结果有了很好的了解，因此利用它是有意义的。
如果新的b靠近旧版b，那么新的x应该靠近旧的x，并且它将作为良好的初始猜测。