Question

我正在使用Boost UBlas的数字库绑定来解决一个简单的线性系统。以下工作正常，但它仅限于相对处理矩阵A（m x m）小'''。

在实践中，我有一个更大的矩阵，维数m = 10 ^ 6（最多10 ^ 7）是否存在用于解决有效使用内存的Ax = b的现有C ++方法。

#include<boost/numeric/ublas/matrix.hpp>
#include<boost/numeric/ublas/io.hpp>
#include<boost/numeric/bindings/traits/ublas_matrix.hpp>
#include<boost/numeric/bindings/lapack/gesv.hpp>
#include <boost/numeric/bindings/traits/ublas_vector2.hpp>

// compileable with this command


//g++ -I/home/foolb/.boost/include/boost-1_38 -I/home/foolb/.boostnumbind/include/boost-numeric-bindings solve_Axb_byhand.cc -o solve_Axb_byhand -llapack


namespace ublas = boost::numeric::ublas;
namespace lapack= boost::numeric::bindings::lapack;


int main()
{
    ublas::matrix<float,ublas::column_major> A(3,3);
    ublas::vector<float> b(3);


    for(unsigned i=0;i < A.size1();i++)
        for(unsigned j =0;j < A.size2();j++)
        {
            std::cout << "enter element "<<i << j << std::endl;
            std::cin >> A(i,j);
        }

    std::cout << A << std::endl;

    b(0) = 21; b(1) = 1; b(2) = 17;

    lapack::gesv(A,b);

    std::cout << b << std::endl;


    return 0;
}

Answer 1

简短回答：不要使用Boost的LAPACK绑定，这些绑定是为密集矩阵设计的，不是稀疏矩阵，而是使用UMFPACK。

答案很长：当{A很大且稀疏时，UMFPACK是解决Ax = b的最佳库之一。

以下是生成简单umfpack_simple.c和A的示例代码（基于b）并解决Ax = b。

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include "umfpack.h"

int    *Ap; 
int    *Ai;
double *Ax; 
double *b; 
double *x; 

/* Generates a sparse matrix problem: 
   A is n x n tridiagonal matrix
   A(i,i-1) = -1;
   A(i,i) = 3; 
   A(i,i+1) = -1; 
*/
void generate_sparse_matrix_problem(int n){
  int i;  /* row index */ 
  int nz; /* nonzero index */
  int nnz = 2 + 3*(n-2) + 2; /* number of nonzeros*/
  int *Ti; /* row indices */ 
  int *Tj; /* col indices */ 
  double *Tx; /* values */ 

  /* Allocate memory for triplet form */
  Ti = malloc(sizeof(int)*nnz);
  Tj = malloc(sizeof(int)*nnz);
  Tx = malloc(sizeof(double)*nnz);

  /* Allocate memory for compressed sparse column form */
  Ap = malloc(sizeof(int)*(n+1));
  Ai = malloc(sizeof(int)*nnz);
  Ax = malloc(sizeof(double)*nnz);

  /* Allocate memory for rhs and solution vector */
  x = malloc(sizeof(double)*n);
  b = malloc(sizeof(double)*n);

  /* Construct the matrix A*/
  nz = 0;
  for (i = 0; i < n; i++){
    if (i > 0){
      Ti[nz] = i;
      Tj[nz] = i-1;
      Tx[nz] = -1;
      nz++;
    }

    Ti[nz] = i;
    Tj[nz] = i;
    Tx[nz] = 3;
    nz++;

    if (i < n-1){
      Ti[nz] = i;
      Tj[nz] = i+1;
      Tx[nz] = -1;
      nz++;
    }
    b[i] = 0;
  }
  b[0] = 21; b[1] = 1; b[2] = 17;
  /* Convert Triplet to Compressed Sparse Column format */
  (void) umfpack_di_triplet_to_col(n,n,nnz,Ti,Tj,Tx,Ap,Ai,Ax,NULL);

  /* free triplet format */ 
  free(Ti); free(Tj); free(Tx);
}


int main (void)
{
    double *null = (double *) NULL ;
    int i, n;
    void *Symbolic, *Numeric ;
    n = 500000;
    generate_sparse_matrix_problem(n);
    (void) umfpack_di_symbolic (n, n, Ap, Ai, Ax, &Symbolic, null, null);
    (void) umfpack_di_numeric (Ap, Ai, Ax, Symbolic, &Numeric, null, null);
    umfpack_di_free_symbolic (&Symbolic);
    (void) umfpack_di_solve (UMFPACK_A, Ap, Ai, Ax, x, b, Numeric, null, null);
    umfpack_di_free_numeric (&Numeric);
    for (i = 0 ; i < 10 ; i++) printf ("x [%d] = %g\n", i, x [i]);
    free(b); free(x); free(Ax); free(Ai); free(Ap);
    return (0);
}

函数generate_sparse_matrix_problem创建矩阵A和右侧b。矩阵首先以三重形式构建。该向量Ti，Tj和Tx完全描述A.三胞胎形式很容易创建但是有效的稀疏矩阵方法需要压缩稀疏列格式。转变使用umfpack_di_triplet_to_col执行。

使用umfpack_di_symbolic执行符号分解。稀疏使用A执行umfpack_di_numeric的LU分解。使用umfpack_di_solve执行下三角和上三角解算。

n为500,000，在我的机器上，整个程序需要大约一秒钟才能运行。 Valgrind报告分配了369,239,649字节（仅略高于352 MB）。

请注意，此page讨论了Boost对Triplet（坐标）中稀疏矩阵的支持和压缩格式。如果您愿意，可以编写例程来转换这些boost对象简单数组UMFPACK需要输入。

Answer 2

假设你的巨大矩阵是稀疏的，我希望它们是那么大，看看PARDISO项目是一个稀疏线性求解器，如果你想处理矩阵，这就是你需要的就像你说的那么大。允许有效存储非零值，并且比解决相同的密集矩阵系统快得多。

Answer 3

我认为你的矩阵是密集的。如果它是稀疏的，您可以找到许多专门的算法，如DeusAduro和duffymo所述。

如果您没有足够大的（足够大的）群集，那么您需要查看核心外算法。 ScaLAPACK prototype package有一些核心外解决方案作为其here的一部分，请参阅文档Google和here以获取更多详细信息。在网上搜索“核外LU /（矩阵）求解器/包”将为您提供大量其他算法和工具的链接。我不是那些专家。

对于这个问题，大多数人会使用群集。您将在几乎任何群集上找到的包再次是ScaLAPACK。此外，典型群集上通常还有许多其他软件包，因此您可以选择适合您问题的软件包（示例here和{{3}}）。

在开始编码之前，您可能希望快速检查解决问题所需的时间。典型的求解器需要大约O（3 * N ^ 3）个触发器（N是矩阵的维数）。如果N = 100000，那么您将看到3000000 Gflops。假设您的内存中求解器每个核心的速度为10 Gflops / s，那么您在单个核心上看到的是3 1/2天。由于算法可以很好地扩展，因此增加内核数量可以减少接近线性的时间。最重要的是I / O.

Answer 4

不确定C ++实现，但如果内存是一个问题，你可以做几件事，具体取决于你正在处理的矩阵类型：

如果矩阵稀疏或带状，则可以使用稀疏或带宽求解器。这些不会在乐队之外存储零元素。
您可以使用波前求解器，它将矩阵存储在磁盘上，并仅引入矩阵波前以进行分解。
您可以避免完全解决矩阵并使用迭代方法。
您可以尝试蒙特卡罗解决方案。

Answer 5

看看由Jack Dongarra和Hatem Ltaief编辑的list of freely available software for the solution of linear algebra problems。

我认为对于你正在研究的问题规模，你可能需要一个迭代算法。如果您不想以稀疏格式存储矩阵A，则可以使用无矩阵实现。迭代算法通常不需要访问矩阵A的各个条目，它们仅需要计算矩阵向量乘积Av（有时是A ^ T v，转置矩阵与向量的乘积）。因此，如果库设计得很好，那么如果你传授一个知道如何制作矩阵矢量产品的类就足够了。

Answer 6

由于接受的答案表明存在UMFPACK。但是如果你使用BOOST，你仍然可以在BOOST中使用紧凑矩阵并使用UMFPACK来解决系统问题。有一个绑定，使它很容易：

http://mathema.tician.de/software/boost-numeric-bindings

它大约两年了，但它只是一个约束力（以及其他一些）。

查看相关问题： UMFPACK and BOOST's uBLAS Sparse Matrix

Ax = b线性代数系统的C ++内存有效解决方案

6 个答案: