Question

我正在尝试编写解决A * x = b线性系统的代码。

我使用高斯消除过程制作了以下代码，并且如果A中没有任何0，它每次都能工作。如果A中有零，则有时它起作用，有时则不起作用。基本上，我正在尝试替代MATLAB中的“ A \ b”。

是否有更好/更简单的方法？

A = randn(5,5);
b = randn(5,1);

nn = size(A);
n = nn(1,1);
U = A;
u = b;

for c = 1:1:n
    k = U(:,c);
    for r = n:-1:c
        if k(r,1) == 0
            continue;
        else
            U(r,:) = U(r,:)/k(r,1);
            u(r,1) = u(r,1)/k(r,1);
        end
    end
    for r = n:-1:(c+1)
        if k(r,1) == 0
            continue;
        else
            U(r,:) = U(r,:) - U(r-1,:);
            u(r,1) = u(r,1) - u(r-1,1);
        end
    end
end
x = zeros(size(b));
for r = n:-1:1
    if r == n
        x(r,1) = u(r,1);
    else
        x(r,1) = u(r,1);
        x(r,1) = x(r,1) - U(r,r+1:n)*x(r+1:n,1);
    end
end
error = A*x - b;
for i = 1:1:n
    if abs(error(i)) > 0.001
        disp('ERROR!');
        break;
    else
        continue;
    end
end
disp('x:');
disp(x);

工作示例为0：

A = [1, 3, 1, 3;
    3, 4, 4, 1;
    3, 0, 3, 9;
    0, 4, 0, 1];

b = [3;
    4;
    5;
    6];

失败的示例（A * x-b不是[0]）

A = [1, 3, 1, 3;
    3, 4, 4, 1;
    0, 0, 3, 9;
    0, 4, 0, 1];
b = [3;
    4;
    5;
    6];

我的算法的解释：可以说我有以下A矩阵：

|4, 1, 9|
|3, 4, 5|
|1, 3, 5|

对于第一列，我将每一行除以该行的第一个数字，因此每一行都以1开头

|1, 1/4, 9/4|
|1, 4/3, 5/3|
|1,   3,   5|

然后我将最后一行减去上面的那一行，然后对上面的行做同样的操作，依此类推。

|1,     1/4,     9/4|
|0, 4/3-1/4, 5/3-9/4|
|0,   3-4/3,   5-5/3|

|1,    0.25,   2.250|
|0,   1.083, -0.5833|
|0,   1.667,   3.333|

然后在其余各列中重复相同的操作。

|1,    0.25,   2.250|
|0,       1, -0.5385|
|0,       1,   1.999|

|1,    0.25,    2.250|
|0,       1,  -0.5385|
|0,       0,  -8.7700|

|1,    0.25,    2.250|
|0,       1,  -0.5385|
|0,       0,        1|

我在A中所做的操作与在b中所做的操作相同，因此系统保持等效。

重新更新：

我在“ for c = 1：1：n”之后添加了这个名称

因此，在执行任何操作之前，它会对A（和b）的行进行排序，以使“ c”列具有新月条目（A的底部行将保留0）。现在，它似乎适用于任何可逆的方阵，尽管我不确定是否可以。

r = c;
a = r + 1;
while r <= n
    if r == n
        r = r + 1;
    elseif a <= n
        while a <= n
            if abs(U(r,c)) < abs(U(a,c))
                UU = U(r,:);
                U(r,:) = U(a,:);
                U(a,:) = UU;
                uu = u(r,1);
                u(r,1) = u(a,1);
                u(a,1) = uu;
            else
                a = a+1;
            end
        end
    else
        r = r+1;
        a = r+1;
    end
end

Answer 1

具有旋转的高斯消除如下。

function [L,U,P] = my_lu_piv(A)
n = size(A,1);
I = eye(n);
O = zeros(n);
L = I;
U = O;
P = I;
    function change_rows(k,p)
        x = P(k,:); P(k,:) = P(p,:); P(p,:) = x;
        x = A(k,:); A(k,:) = A(p,:); A(p,:) = x;
        x = v(k); v(k) = v(p); v(p) = x;
    end

    function change_L(k,p)
        x = L(k,1:k-1); L(k,1:k-1) = L(p,1:k-1);
        L(p,1:k-1) = x;
    end
for k = 1:n
    if k == 1, v(k:n) = A(k:n,k);
    else
        z = L(1:k-1,1:k -1)\ A(1:k-1,k);
        U(1:k-1,k) = z;
        v(k:n) = A(k:n,k)-L(k:n,1:k-1)*z;
    end
    if k<n
        x = v(k:n); p = (k-1)+find(abs(x) == max(abs(x))); % find index p
        change_rows(k,p);
        L(k+1:n,k) = v(k+1:n)/v(k);
        if k > 1, change_L(k,p); end
    end
    U(k,k) = v(k);
end
end

为了解决系统问题。

％A x = b（1）原始系统％L U = P A
  （2）将P A或A（p，:)分解为乘积L U％P A x =   P b（3）将（1）的两边乘以P％L U x = P b
  （4）将（2）代入（3）％，让y = U x（5）将y定义为   U x％让c = P b（6）将c定义为P b％L y = c
  （7）将（5）和（6）代入（4）％U * x = y（8）a   重写（5）

为此。

％[L U p] = lu（A）；％分解％y = L \（P * b）;前进百分比（7）的解，较低的三角系统％x = U \ y；％（8）的后求解，一个上三角系统

Answer 2

高斯算法假定矩阵被转换为上三角矩阵。在您的示例中不会发生这种情况。算法的结果是

A =

   1   3   1   3
   3   4   4   1
   0   0   3   9
   0   4   0   1

U =

   1.00000   3.00000   1.00000   3.00000
  -0.00000   1.00000  -0.20000   1.60000
   0.00000   0.00000   1.00000   3.00000
   0.00000   4.00000  -0.00000   1.00000

如您所见，它不是上三角。如果数据透视元素为零，则您正在跳过行。那行不通。要解决此问题，如果枢轴元素为零，则需要交换矩阵中的列和向量中的行。最后，您必须在结果b中换回行。 u。

高斯算法是：

1 Set n = 1
2 Take pivot element (n, n)
3 If (n, n) == 0, swap column n with column m, so that m > n and (n, m) != 0 (swap row m and n in vector b)
4 Divide n-th row by pivot element (divide n-th row in vector b)
5 For each m > n
6   If (m, n) != 0
7      Divide row m by m and subtract element-wise row n (same for vector b)
8 n = n + 1
9 If n <= number of rows, go to line 2

就数值稳定性而言，最好将每一行的最大值用作枢轴元素。您也可以通过交换列和行来将矩阵的最大值用作枢轴元素。但是请记住要交换b并重新交换解决方案。

Answer 3

试试这个：

Ab = [A,b] % Extended matrix of the system of equations
rref(Ab)   % Result of applying the Gauss-Jordan elimination to the extended matrix

有关详细信息和示例，请参阅 rref documentation。

消除高斯以解决A * x = b线性系统（MATLAB）

3 个答案: