Question

我在世界空间中有一些物体，让我们说在（0,0,0）并且想要将它旋转到面（10,10,10）。

我如何使用四元数？

Answer 1

这个问题没有多大意义。你说你希望一个对象“面对”一个特定的点，但这并不能提供足够的信息。

首先，面对这个方向意味着什么？在OpenGL中，这意味着本地参考帧中的 -z 轴与某些外部参照系中的指定方向对齐。为了实现这种对齐，我们需要知道对象的相关轴当前“面向”的方向。

但是，仍然没有定义唯一的转换。即使您知道使 -z 轴点成为什么方向，该对象仍然可以自由旋转围绕该轴。这就是函数gluLookAt()要求您提供'at'方向和'up'方向的原因。

我们需要知道的下一件事是最终结果需要采用什么格式？对象的方向通常以四元数格式存储。但是，如果要以图形方式旋转对象，则可能需要旋转矩阵。

所以让我们做一些假设。我假设您的对象位于世界点 c 的中心，并且具有默认对齐方式。即，对象的 x ， y 和 z 轴与世界的 x ， y对齐和 z 轴。这意味着对象相对于世界的方向可以表示为单位矩阵或标识四元数：[1 0 0 0]（使用四元数约定，其中 w 首先出现）。

如果您想要最短的旋转将对象的 -z 轴与点 p ：= [px py pz]对齐，那么您将围绕轴旋转φ的一个即可。现在我们将找到这些价值观。首先，我们通过对矢量 pc 进行归一化，然后使用单位长度 -z 向量的交叉积来找到轴 a ，然后再次归一化：

a = normalize（crossProduct（ -z ，规范化（ p-c ）））;

通过取其点积的反余弦得到的这两个单位向量之间的最短角度：

φ= acos（dotProduct（ -z ，规范化（ p-c ）））;

不幸的是，这是两个矢量形成的角度的绝对值的量度。当围绕 a 旋转时，我们需要弄清楚它是正还是负。必须有一种更优雅的方式，但想到的第一种方法是找到第三个轴，垂直于 a 和 -z ，然后从中取出符号它与我们的目标轴的点积。可见：

b = crossProduct（ a ， -z ）;

if（dotProduct（ b ，normalize（ p-c ））＆lt; 0）φ=-φ;

一旦我们获得了轴和角度，将其转换为四元数很容易：

q = [cos（φ/ 2）sin（φ/ 2） a ];

这个新的四元数表示对象的新方向。它可以转换为矩阵用于渲染目的，或者如果需要，可以使用它直接旋转对象的顶点，使用四元数乘法规则。

Answer 2

可以在Ogre::Vector3 class的OGRE源代码中找到计算表示两个向量之间旋转的四元数的示例。

Answer 3

为了回应你的澄清并回答这个问题，我无耻地复制了一个非常有趣和简洁的算法，用于找到两个向量之间的quat，看起来像我以前从未见过here。在数学上，它似乎是有效的，因为你的问题是关于它背后的数学，我相信你将能够将这个伪代码转换为C ++。

quaternion q;
vector3 c = cross(v1,v2);
q.v = c;
if ( vectors are known to be unit length ) {
    q.w = 1 + dot(v1,v2);
} else {
    q.w = sqrt(v1.length_squared() * v2.length_squared()) + dot(v1,v2);
}
q.normalize();
return q;

如果您需要帮助澄清该伪代码的任何位，请告诉我。应该是直截了当的。

dot(a,b) = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn

和

cross(a,b) = well, the cross product. it's annoying to type out and
can be found anywhere.

Answer 4

您可能想要使用SLERP（球面线性插值）。请参阅此article以获取有关如何在c ++中执行此操作的参考

四元数 - 旋转到

4 个答案: