Question

下面的算法（伪代码）的时间复杂度是多少？我很难分析它。它是另一个线程指定的问题的实现：Algorithm to find max cost path of length N in matrix, from [0,0] to last row。但是因为我是新来的，我没有足够的分数在线程中评论（我认为）？这是我的第一篇文章，请原谅我，如果我做错了什么。

该算法使用cache[][][][]的记忆。在初始化期间cache[][][][]填充-1。

使用maxPath(0,0,m,DOWN)调用该方法。其中m是要采取的步数，n＆lt; = m＆lt; = n ^ 2，方向定义为DOWN = 0，LEFT = 1，RIGHT = 2.

function maxPath(i, j, fuel, direction)
    if i = n OR j = n OR j < 0 OR fuel = 0 then
         return 0;
    end if
    if cache[i][j][f-1][d] != -1 then
         return cache[i][j][f - 1][d];
    end if
    ret := 0
    acc+ = matrix[i][j]
    ret:=max(ret,maxPath(i+1, j, fuel-1, DOWN))
    if f > n - i then . If there is enough steps to move horizontally
        if d = RIGHT or d = DOWN then
            ret:=max(ret,maxPath(i, j+1, fuel-1, RIGHT))
        end if
        if d = LEFT or d = DOWN then
            ret:=max(ret,maxPath(i, j-1, fuel-1, LEFT))
        end if
    end if
    return cache[i,j,fuel-1,direction] = ret + matrix[i][j]
end function

Answer 1

Okey我已经解决了它，并且认为我应该分享我的结果。

如果我们让G =（V，E）是一个图，其中V = {maxPath（i，j，p，d）：对于所有可能的i，j，p和d}和E = {uv：u = f（i，j，p，d）和v = f（i'，j'，p'，d'）}。我们有G是状态图，它显然是DAG（有向无环图）。然后，我们可以使用memoization计算maxPath。

我们有

    n possible values for i
    n possible values for j
    m possible values for fuel (which in worst case is n^2)
    3 possible values for direction

然后我们调用maxPath的n * n * m * 3个不同函数，在最坏的情况下是n ^ 4 * 3。所以，我们有O（n ^ 4）个不同的函数。每次调用函数都在O（1）时间运行。因为图形具有次优结构，所以每个子问题都是原始问题。因此，通过memoization，我们不必两次计算相同的“函数”，因此我们得到O（n ^ 4）。

利用记忆分析NxN矩阵中最重路径的时间复杂度

1 个答案: