Question

如何从较小的概率集中生成更大的概率集？
这来自算法设计手册-Steven Skiena
问：

使用随机数生成器（rng04）以相同的概率生成{0,1,2,3,4}中的数字，以编写一个随机数生成器，以相等的概率生成从0到7（rng07）的数字？< / p>

我现在尝试了大约3个小时，主要是基于两个rng04输出的总和。问题在于，在这种情况下，每个值的概率是不同的 - 4可以有5/24概率而0发生是1/24。我尝试了一些方法来掩盖它，但不能。

有人可以解决这个问题吗？

Answer 1

你必须找到一种方法来组合两组随机数（第一个和第二个随机{0,1,2,3,4}）并使n*n具有不同的可能性。基本上问题是，通过添加你会得到类似这样的东西

        X
      0 1 2 3 4

  0   0 1 2 3 4
Y 1   1 2 3 4 5
  2   2 3 4 5 6
  3   3 4 5 6 7
  4   4 5 6 7 8

哪个有重复，这不是你想要的。组合这两组的一种可能方式是Z = X + Y*5，其中X和Y是两个随机数。这会给你一组像这样的结果

        X
       0  1  2  3  4

  0    0  1  2  3  4
Y 1    5  6  7  8  9
  2   10 11 12 13 14
  3   15 16 17 18 19
  4   20 21 22 23 24

所以现在你有一组更大的随机数，你需要反过来使它变小。此集具有25个不同的值（因为您从5开始，并使用了两个随机数，因此5*5=25）。您想要的集合有8个不同的值。一种天真的方法是

x = rnd(5)  // {0,1,2,3,4}
y = rnd(5)  // {0,1,2,3,4}
z = x+y*5   // {0-24}
random07 = x mod 8

这确实会有{0,7}的范围。但值{1,7}将出现3/25次，值0将出现4/25次。这是因为0 mod 8 = 0，8 mod 8 = 0，16 mod 8 = 0和 24 mod 8 = 0 。

要解决此问题，您可以将上面的代码修改为此。

do {
  x = rnd(5)  // {0,1,2,3,4}
  y = rnd(5)  // {0,1,2,3,4}
  z = x+y*5   // {0-24}
while (z != 24)

random07 = z mod 8

这将取消丢失概率的一个值（24）并丢弃它。如果你得到一个像这样的“坏”值，那么生成一个新的随机数将使你的算法运行得更长（在这种情况下，运行时需要2倍的时间的1/25，1/625需要3倍的时间）等等）。但它会给你正确的概率。

Answer 2

当然，真正的问题在于总和中间的数字（在这种情况下为4）以多种组合（0 + 4,1 + 3等）出现，而0和8则完全相同一种生产方式。

我不知道如何解决这个问题，但我会尝试为你减少一点。需要考虑的一些要点：

0-7范围有8个可能的值，因此最终您应该瞄准的可能情况的总数必须是8的倍数。这样，您可以在该codomain中为每个值分配一个完整的分布数。
当您取两个密度函数的总和时，可能情况的数量（在评估总和时不一定是不同的，仅根据输入的不同排列）等于每个输入的大小的乘积集。
因此，假设两个{0,1,2,3,4}组合在一起，你有5 * 5 = 25种可能性。
不可能从5的幂获得8的倍数（见第一点）（参见第二点，但将其外推到任意数量的集合> 1），所以你需要有剩余的您的函数中可能存在的情况，如果它们发生，则忽略它们中的一些。
就此而言，最简单的方法就是使用两个{0,1,2,3,4}组（25种可能性）的总和而忽略1（离开24），8）的倍数。
因此，现在的挑战已经减少到：找到一种方法在8个输出值中分配剩余的24种可能性。为此，您可能不想使用总和，而只想使用输入值。

这样做的一种方法是，想象一下根据您的输入构建的基数5中的数字。忽略44（这是你的第25个，多余的值;如果你得到它，合成一组新的输入）并取其他的，模8，你将得到你的0-7跨24种不同的输入组合（每组3个），是平等分配。

Answer 3

我的逻辑是：

rn07 = 0;
do {
  num = rng04;
}
while(num == 4);

rn07 = num * 2;
do {
  num = rng04;
}
while(num == 4);

rn07 += num % 2