Question

我有N nodes和N-1 connections的图表（或无根树）。每个连接都有一个distance of 1。

当 v 与一组节点 E {} 之间的最大距离的 v 节点> v 可以是 E 中的节点吗？

约束：

（N <= 50000）
E＆lt; = N
时间限制1秒

Answer 1

我会从节点集E开始使用breadth first search。 v将成为您访问的最后一个节点。

修改

1-2-3-4 E={1,4,5} | 5

好的，现在我了解您的指标。您希望为每条边计算该边缘两侧的E元素之间的距离总和。你可以通过计算从叶子到根的值来做到这一点（手动一点）。

然后，您可以为每个节点计算每个传入边缘上这些值的总和。选择总和最大的节点。

Answer 2

如果图形是非循环的，则可以使边权重为-1并运行Floyd-Warshall。这将为您提供所有对最长的路径。然后，对于图中的每个节点，取与E中节点的平均距离。

否则我相信在NP-Complete问题中试图找到任意图形中最长的路径。

Answer 3

这是一个简单的算法，用于计算E每个顶点的每个节点的距离。

图表是一棵树，最初没有根。

任意选择一个节点作为根

遍历树，并为每个节点计算其子树中E中的顶点数（我们可以将此函数称为e(node)）。

例如，如果您的树如下（括号显示E={C,D,I}中的顶点），您将计算如下所示的数字：

vertices in the graph:              e(v)

          A                          3
         / \                        / \
        B  (C)                     1   2
       / \   \                    / \   \
     (D)  F   G                  1   0   1
     /         \                /         \
    H          (I)             0           1

还计算根节点与集合E的距离（调用此函数d(v)）。我们看到d(A)=6，在步骤2中遍历树时很容易计算出来。
然后，再次遍历树，计算每个节点的距离函数，其中公式为d(v) = d(parent(v)) + size(E) - 2*e(v)。对于所有节点，这将花费O(n)时间，因为每个节点都是恒定的时间。

通过考虑当您从父级移动到子级时，与E中的节点集的距离更改为：
- 在子树的子树中，E 中的每个节点的距离增加1
<强>示例：

d(B) = d(A) + size(E) - 2*e(B) = 6 + 3 - 2 = 7，

d(D) = d(B) + size(E) - 2*e(D) = 7 + 3 - 2 = 8，

d(H) = d(D) + size(E) - 2*e(H) = 8 + 3 - 0 = 11，

d(F) = d(B) + size(E) - 2*e(F) = 7 + 3 - 0 = 10

然后只搜索具有最高v的节点d(v)，您可以通过再次遍历树来执行此操作。您也可以在步骤4中遍历树的同时执行此操作。

此算法仅需要对树进行2次不同的遍历，每次遍历O(n)次。因此，整体算法复杂度为O(n)。

请注意，此算法如此高效的原因是图表是树。大多数最短路径算法用于一般图形。树更简单，因为在任何一对顶点之间只有一条唯一的路径。因此，不需要最短路径算法中通常需要的策略。

双向图算法

3 个答案: