Question

假设给定一个n元素多重集A（未排序），我们想要一个O（n）时间算法来确定A是否包含多数元素，即在A中出现超过n / 2次的元素。在O（n）时间内很容易解决这个问题使用线性时间选择算法，通过找到中位数（称之为x），然后计数如果计数超过n / 2，则在A中出现x次并将其作为多数返回（否则答案是“没有多数”）。现在考虑以下概括问题：给定A和整数k < n，我们想要一个确定的算法 A是否包含一个超过n / k次的值（如果有很多这样的值存在，然后它就足以找到其中一个）。设计一个算法来做到这一点，和将其复杂性分析为n和k的函数。你在这个问题上的成绩将取决于你的算法有多快（当然它也必须是正确的）。对于O（kn）时间算法给出10分的部分信用，对于O（n log k）时间算法给出完全信用。

现在我已经为这个问题提出了两个解决方案，但都没有完全满足 O（n log k）要求。我立刻看到我可以使用O（n log n）算法对数组进行排序然后查看是否有任何元素线性重复超过n / k次但是O（n log n）不是O（n log k）

我也发现并且稍微理解了通过使用与输入相同的数据类型的数组和k为long的int来完成O（nk）方法。然后将每个元素放入一个空元素中递增其计数器，或者如果它匹配一个元素递增其计数器直到我们到达第k + 1个唯一元素，此时你将所有计数器递减1直到一个达到0，此时它是被认为是空的，新元素可以放在其中。依此类推，直到输入数组结束。然后检查完成后剩下的所有元素，看它们是否出现超过n / k次。但由于这涉及检查n个原始元素对所有k个新数组元素，因此它是O（nk）。关于如何在O（n log k）中解决这个问题的任何提示？我认为O（nk）算法与他希望我们如何思考有关，但我不确定从何处开始。

Answer 1

您描述的方法只需递归使用。

记住select移动小于或等于中位数左侧中间值的元素。

如果A的大小为n。

找出A的中位数。现在找到由中位数划分的两个长度为n/2的子多集中的每一个的中位数。找出由中位数划分的四个长度为n/4的子多集中的每一个的中位数。递归继续，直到叶子长度为n/k。现在递归树的高度为O(lgk)。在递归树的每个级别上，都有O(n)个操作。如果存在重复至少n/k次的值，那么它将在其中一个中这些k长度为n/k个子多集。最后的操作也在O(n)中完成。因此，您获得O(nlgk)的请求运行时间。

Answer 2

O（kn）算法

我想知道O（kn）算法是否可能更符合以下几点：

找到k个规则间隔的元素（使用类似的线性选择算法到中位数）
计算您为这些

这个想法是，如果一个元素出现n / k次，它必须是其中之一。

O（nlogk）算法

也许你可以使用你的问题中提出的方案和树结构来保存k个元素。这就意味着搜索匹配只是log（k）而不是k，对于整体O（nlogk）？

请注意，您应该将树用于第一遍（您要找到我们需要考虑的候选人），以及计算每个元素的确切计数的第二轮。

另请注意，您可能希望使用延迟评估方案来递减计数器（即标记需要递减的整个子树，并仅在下次使用该路径时传播递减）。

O（n）算法

如果你在现实生活中遇到这种情况，我会考虑使用基于哈希的字典存储直方图，因为这应该提供快速解决方案。

e.g。在Python中你可以使用

from collections import Counter
A=[4,2,7,4,6]
k=3

element,count = Counter(A).most_common()[0]

if count>=len(A)//k:
    print element
else:
    print "there is no majority"

Answer 3

我不知道你是否看过这个，但它可能有助于你提出想法：

假设您知道数组L中有多数元素。

查找元素的一种方法如下：

Def FindMajorityElement(L):

    Count = 0

    Foreach X in L

        If Count == 0
            Y = X

        If X == Y
            Count = Count + 1
        Else
            Count = Count - 1

    Return Y

O（n）时间，O（1）空间

确定数组是否具有k多数元素

3 个答案:

O（kn）算法

O（nlogk）算法

O（n）算法