我不是问如何在数组中找到多数元素，这已在此处详细讨论Find majority element in array
我的问题如下：
有一个数组arr[1...2n]，此数组的多数元素为maj，现在我将使用以下规则删除arr中的元素，
如果arr[i] == arr[i + 1]，请删除arr[i]，i = 1,3,5，...，2n - 1;
否则，如果arr[i] != arr[i + 1]，请删除arr[i]和arr[i + 1]，i = 1,3,5，...，2n - 1.
然后我们可以获得一个新数组new_arr，new_arr的多数元素的候选者是new_maj，
是否有证据证明new_maj == maj？
答案 0 :(得分：1)
是的，有证据。
我们只对元素对a[i],a[i+1]，i奇数感兴趣。如果a[i]=a[i+1]，我们称这样一对为“好”。其他对是“坏”。与多数候选人相等的元素是“常规”。一对好的groovy元素是一对groovy对。
关于良好配对的简单事实是至少有一半的好配对是常规的。假设不是这样;然后在良好的配对中，严格不到一半的元素是常规的，在坏配对中，不超过一半的元素是常规的。总的来说，严格来说，不到一半的元素是常规的。这是一个矛盾。
所以我们已经确定至少有一半的好对子是常规的。
现在消除所有坏对。仍然至少有一半的元素是常规的（因为只剩下好的对，其中至少有一半是常规的）。
现在从好的对中消除所有其他元素。仍然至少有一半的元素是常规的（因为每个元素的数量只减半）。
结论证明。
答案 1 :(得分：0)
定义N = 2 n。该数组包含N个元素。
将M定义为maj在数组中出现的次数。 “多数元素”的定义是M > N/2。
现在将数组分成对p[1] ... p[n]。将q0定义为包含maj的零实例的对数。将q1定义为仅包含一个maj实例的对数。将q2定义为恰好包含两个maj实例的对数。
然后N = 2 q0 + 2 q1 + 2 q2和M = q1 + 2 q2。
代入定义多数元素的不等式，并简化：
M > N / 2
q1 + 2 q2 > (2 q0 + 2 q1 + 2 q2) / 2
q1 + 2 q2 > q0 + q1 + q2
2 q2 > q0 + q2
q2 > q0
因此，包含两个maj实例的对数超过了包含maj的零实例的对数。
现在，在运行算法后，将M'定义为新数组中maj出现的次数。该算法为每个maj对删除一个q1，为每个maj对删除一个q2。所以M' = M - q1 - q2。
将N'定义为算法生成的新数组的大小。该算法为每个q1对删除两个元素，为每个q2对删除一个元素。
但我们不知道算法删除了每个q0对的元素数量。一些q0对包含两个不同的元素，算法删除两者。但其他q0对包含相同的（非maj）元素，算法只删除一个。
一个极端是所有q0对都被完全删除。在这种情况下，算法会删除2 q0个元素，所以
N - 2 q1 - q2 - 2 q0 ≤ N'
另一个极端是每个q0对中只删除一个元素。在这种情况下，算法会删除q0个元素，所以
N - 2 q1 - q2 - q0 ≥ N'
让我们回到“多数元素”的定义并做一些代数：
M > N / 2
M - q1 - q2 > N / 2 - q1 - q2
M - q1 - q2 > (N - 2 q1 - 2 q2) / 2
M - q1 - q2 > (N - 2 q1 - q2 - q2) / 2
左侧是M'。
M' > (N - 2 q1 - q2 - q2) / 2
我们可以将右侧变为N' / 2吗？首先，将两边乘以2：
2 M' > N - 2 q1 - q2 - q2
回想一下，我们证明了q2 > q0。因此
2 M' > N - 2 q1 - q2 - q2 > N - 2 q1 - q2 - q0
并且，因为我们推断了N - 2 q1 - q2 - q0 ≥ N'，
2 M' > N - 2 q1 - q2 - q0 ≥ N'
所以
2 M' > N'
M' > N' / 2
因此maj在新数组中出现足够的次数成为新数组的主要元素。 QED。
答案 2 :(得分：0)
这是我的证明变体：
考虑对arr [i]和arr [i + 1]的4种情况（反之亦然，对的顺序并不重要），我很奇怪。让 maj 成为主要元素， min 是任何次要元素：
a，b，c，d都是＆gt; = 0。
案例1对主要元素的原始总和贡献2 | maj |并减少主要元素的最终总和| maj |' （执行算法后）1
案例2对| maj |贡献1和1到| min |，所有次要元素的原始总和，并减少| maj |'由1和| min |'由1
案例3贡献2到| min |并减少| min |'由2
案例4贡献2到| min |并减少| min |'由1
因此，原始数组arr []中的主要元素总数为：
|maj| = 2a + b
所有次要元素的数量为：
|min| = b + 2c + 2d
从| maj | ＆GT; |分| ，
2a + b > b + 2c + 2d
2a > 2c + 2d
a > c + d
运行算法后，新的主要元素数由下式给出：
|maj|' = |maj| - a - b
以及新的次要元素数量为：
|min|' = |min| - b - 2c - d
代替我们：
|maj|' = 2a + b - a - b = a
|min|' = b + 2c + 2d - b - 2c - d = d
因为我们从上面知道c + d＆lt; a，和a，c，d都是＆gt; = 0，我们有
a > c + d =>
a > d =>
|maj|' > |min|'
因此 maj 仍然是新数组中的主要元素。