Question

MS在f2f采访时的采访提问：

确定

的整数解的个数

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = N

其中0 <= xi <= N

所以基本上我们需要在最多5个部分找到N的分区数假设用纸和笔来解决。虽然没有取得多大进展，但有人有解决方案吗？

Answer 1

假设数字严格> 0
考虑整数段 [0，N] 。问题是将其分成正长度的 4 段。想象一下，我们通过在相邻数字之间放置4个分离点来做到这一点。有多少种方法可以做到这一点？ C（N-1,4）。
现在，一些数字可以是0-s。设 k 为非零数字。对于每个具有 C（N-1，k）分割的方式，我们可以用 C（5，k）方式选择它们。累计 [0,5] 范围内的所有 k ，我们得到了 Sum [C（5，k）* C（n-1，k）; k = 0到5]

Answer 2

@Grigor Gevorgyan确实提供了找出解决方案的正确方法。

考虑什么时候

1 <= xi

将N点分为5段。它相当于在N-1个可能的位置（相邻数字之间）插入4个“分离点”。所以答案是C（N-1,4）

然后呢

0 <= xi

如果你有<+ p>的X + 5点解决方案

1 <= xi

答案为C(N-1,4)=C(X+5-1,4)=C(X+4,4)

然后你只需从每一组中删除一个点，你就可以得到X点的解决方案，

0 <= xi

这意味着，现在的答案完全等于C(X+4,4)

Answer 3

Topcoder tutorials

查找“重复组合”部分：具体情况在该部分下面用图解说明。（图片值得多说几句！）

Answer 4

您的答案为here。

这是经典问题 -

将N个球放入M个框中的选项数= c（M + N-1，N）。

Answer 5

如果要求使用笔和纸溶液，则组合解决方案更合适。这也是经典的解决方案。这是一个动态编程解决方案。

让dp[i, N] = number of solutions of x1 + x2 + ... +xi = N。

我们来看x1 + x2 = N：

我们有解决方案：

0 + N = N
1 + N - 1 = N
...
N + 0 = N

所以dp[2, N] = N + 1解决方案。

我们来看x1 + x2 + x3 = N：

我们有解决方案：

0 + (0 + N) = N
0 + (1 + N - 1) = N
...
0 + (N + 0) = N
...

请注意，到目前为止有N + 1个解决方案。继续：

1 + (0 + N - 1) = N
1 + (1 + N - 2) = N
...
1 + (N - 1 + 0) = N
...

请注意，还有其他N解决方案。继续：

...
N - 1 + (0 + 1) = N
N - 1 + (1 + 0) = N
=> +2 solutions
N + (0 + 0) = N
=> +1 solution

所以我们有dp[3, N] = dp[2, N] + dp[2, N - 1] + dp[2, N - 2] + ... + dp[2, 0]。

另请注意dp[k, 0] = 1

因为对于矩阵的每一行，我们需要N个求和，计算dp[k, N]的复杂度为O(k*N)，这与组合学解决方案所需的一样多。< / p>

为了保持每行O(N)的复杂性，请存储s[i] = sum of the first i elements on the previous row。使用的内存也可以减少到O(N)。

整体解决方案的数量

5 个答案: