Question

给出了在所有三个维度中排序的三维矩阵，我们必须这样做在其中找到一个给定的数字。

对于上述问题，我一直在想这个问题：3D数组arr[m][n][r]就像一堆矩形，每个矩形（考虑arr[m][n][0]）的最大元素是最右边的 - 大多数元素（arr[m-1][n-1][0]）。我们可以在O(m+n)：

中的每个矩形内搜索

int row = 0;
int col = N-1;

while (row < M && col >= 0) 
{
  if (mat[row][col] == elem) 
  { 
    return true;
  }
  else if (mat[row][col] > elem) 
  { 
    col--;
  } 
  else 
  { 
    row++;
  } 
}

我认为它可以类似地扩展到第三维，因此使其成为线性复杂性解决方案（O(m+n+r)）。我是对的吗？

有没有人有任何其他想法？会有什么复杂性？

Answer 1

您不能将线性复杂度2D解决方案扩展到第三维，从而使O（m + n + r）解决方案脱离其中。在每个方向上独立分类的3D阵列包含O（N ²）元素的组，这些元素彼此之间没有排序。例如，子arr[i][j][k]，其中i+j+k = (m+n+r)/2完全未排序。因此，您必须检查此类子数组的每个元素以查找给定的数字。这证明你不能发明一种复杂度优于O（N ²）的算法（至少当m，n和r彼此差别不大时）。这只是this answer的证明的扩展。

以下是一个例子：

k=0: |1 x|   k=1: |z 3|
     |y 3|        |3 4|

此数组按所有3个维度排序。但这并不能确定元素x，y，z的任何排序顺序。您可以将（1,3）范围内的任何值分配给这些元素。在搜索值为“2”的元素时，您必须检查所有这些“未排序”的值（x和y和z）。如果增加数组的大小，您会看到“未排序”值的数量可能会以二次方式增加。这意味着搜索算法的最坏情况时间复杂度也应该以二次方式增加。

你可以找到最小的数组大小（让它为'r'），并为每个矩阵arr[*][*][k]搜索O（m + n）时间内的给定数字，得到O（（m + n）* r）时间复杂度。

或者，如果其中一个数组大小比其他数组（r >> m*n）大得多，则可以在arr[i][j][*]中使用二进制搜索（对于每个i，j），这将得到O（m n log（r））时间复杂度。

Answer 2

如果内存消耗不是一个大问题，你可以将你的数组复制到单个1D数组中，然后按值对这个数组进行排序，并用O（log（n + m + r）在其中执行二进制搜索）复杂性。但是初始排序需要O（（n + m + r）* log（n + m + r）），这将定义总算法复杂度。

我认为感谢3D数组在每个维度中排序的事实，可以找到一些算法，将其转换为排序的1D阵列比O（（n + m + r）* log（n + m +）更快r）），但我不知道这些事情。也许Chiyou试图解释这个。

Answer 3

从理论上讲，我可以想到一个递归的解决方案。

假设n是您在立方体NxNxN中寻找的数字。这个立方体从东到西，从北到南，从上到下按升序排序。这样东北顶极端的数量最小，最南 - 西 - 底的数量最大。

选择多维数据集中心的数字。如果这个数字等于n，那么我们找到了这个数字。如果这个数字大于n，我们可以忽略位于西南 - 底部的所有数字，因为它们都将大于n。这些数字是立方体的1/8。现在，我们可以轻松地将立方体的剩余部分分成7个立方体并重复该过程。

如果此数字小于n，我们可以忽略所有位于东北顶的数字。

Point find(int[][][]matrix, int N, int n)
{
    if(N == 0)
    {
      return null;
    }

    int x = matrix[N/2][N/2][N/2];
    if( x == n)
        return new Point(N/2, N/2, N/2);
    else if (x > n)
    {
        for(Matrix m: SplitTheCubeInto8CubesAndIgnoreSouthWestBottomCube(matrix))
        {
            if((p = find(m, N/8, n)) != null)
                return p;
           else
                return p;
        }
    }
    else
    { 
        for(Matrix m: SplitTheCubeInto8CubesAndIgnoreNorthEastTopCube(matrix))
        {
            if((p = find(m, N/8, n)) != null)
                return p;
           else
                return p;
        }
    }
}

复杂性可表示如下： T（M）= 7 * T（M / 8）+ 1（M是立方体中的总点数.M = N * N * N.在每次比较中，我们留下7个M / 8的立方体每个尺寸） O = ln（M）[ln基于8/7] 或者O = ln（N）

搜索已排序的3d数组中的元素

3 个答案: