Question

对衍生塔使用vector-space包时（参见derivative towers）我觉得需要区分积分。从数学来看，如何实现这一点非常清楚：

f(x) = int g(y) dy from 0 to x

带有功能

g : R -> R

例如。

关于x的衍生物将是：

f'(x) = g(x)

我试图通过首先定义一个类“Integration”

来获得这种行为

class Integration a b where
--standard integration function
integrate :: (a -> b) -> a -> a -> b

基本实例是

instance  Integration Double Double where
  integrate f a b = fst $ integrateQAGS prec 1000 f a b

来自hmatrix

的integrateQAGS

问题伴随着代表衍生品塔的价值b：

instance Integration Double (Double :> (NC.T Double)) where
  integrate = integrateD

NC.T来自Numeric.Complex（数字前奏曲）。函数integrateD定义如下（但错误）：

integrateD ::(Integration a b, HasTrie (Basis a), HasBasis a, AdditiveGroup b) =>  (a -> a :> b) -> a -> a -> (a :> b)
integrateD f l u = D (integrate (powVal . f) l u) (derivative $ f u)

函数不返回我想要的东西，它派生了被积函数，但不是积分函数。问题是，我需要一个返回f u的线性地图。 a :> b定义如下：

data a :> b = D { powVal :: b, derivative :: a :-* (a :> b) }

我不知道如何定义derivative。任何帮助将不胜感激，谢谢

编辑：

我忘了提供Integration Double (NC.T Double)的实例：

instance  Integration Double (NC.T Double) where
  integrate f a b = bc $ (\g -> integrate g a b) <$> [NC.real . f, NC.imag . f]
      where bc (x:y:[]) = x NC.+: y

我可以举一个例子来说明我的意思：假设我有一个功能

f(x) = exp(2*x)*sin(x)

>let f = \x -> (Prelude.exp ((pureD 2.0) AR.* (idD x))) * (sin (idD x)) :: Double :> Double

（AR。*）表示从Algebra.Ring（数字前奏）

的乘法

我可以轻松地将此功能与上述功能integrateD：

集成

>integrateD f 0 1 :: Double :> Double
D 1.888605715258933 ...

当我看一下f：

的衍生物时

f'(x) = 2*exp(2*x)*sin(x)+exp(2*x)*cos(x)

并在0和pi/2对此进行评估我获得了1和一些价值：

> derivAtBasis (f 0.0) ()
D 1.0 ...

> derivAtBasis (f (pi AF./ 2)) ()
D 46.281385265558534 ...

现在，在导出积分时，我得到函数f的推导而不是它在上界的值

> derivAtBasis (integrate f 0 (pi AF./ 2)) ()
D 46.281385265558534 ...

但我希望：

> f (pi AF./ 2)
D 23.140692632779267 ...

Answer 1

如果您只想对涉及数字集成的函数执行AD，而AD系统不了解集成 per-se ，则它应该“正常工作”。这是一个例子。（这个集成程序非常狡猾，因此得名。）

import Numeric.AD
import Data.Complex

intIcky :: (Integral a, Fractional b) => a -> (b -> b) -> b -> b -> b
intIcky n f a b = c/n' * sum [f (a+fromIntegral i*c/(n'-1)) | i<-[0..n-1]]
  where n' = fromIntegral n
        c = b-a

sinIcky t = intIcky 1000 cos 0 t
cosIcky t = diff sinIcky t

test1 = map sinIcky [0,pi/2..2*pi::Float]
 -- [0.0,0.9997853,-4.4734867e-7,-0.9966421,6.282018e-3]
test2 = map sin [0,pi/2..2*pi::Float]
 -- [0.0,1.0,-8.742278e-8,-1.0,-3.019916e-7]
test3 = map cosIcky [0,pi/2..2*pi::Float]
 -- [1.0,-2.8568506e-4,-0.998999,2.857402e-3,0.999997]
test4 = map cos [0,pi/2..2*pi::Float]
 -- [1.0,-4.371139e-8,-1.0,1.1924881e-8,1.0]
test5 = diffs sinIcky (2*pi::Float)
 -- [6.282019e-3,0.99999696,-3.143549e-3,-1.0004976,3.1454563e-3,1.0014982,-3.1479746e-3,...]
test6 = diffs sinIcky (2*pi::Complex Float)
 -- [6.282019e-3 :+ 0.0,0.99999696 :+ 0.0,(-3.143549e-3) :+ 0.0,(-1.0004976) :+ 0.0,...]

唯一需要注意的是，数字集成例程需要与AD一起使用，并且还接受复杂的参数。更天真的东西，比如

intIcky' dx f x0 x1 = dx * sum [f x|x<-[x0,x0+dx..x1]]

在积分上限中是分段常数，要求积分限制为Enum，因此非复杂，并且还经常评估给定范围之外的被积函数：

Prelude> last [0..9.5]
10.0

Answer 2

'hmatrix'与Double紧密相关。您不能将其功能与“矢量空间”或“广告”提供的其他数字数据类型一起使用。

Answer 3

我终于找到了解决问题的方法。解决方案的关键是vector-space包中的>-<函数，它代表链规则。

所以，我定义了一个函数integrateD'，如下所示：

integrateD' :: (Integration a b, HasTrie (Basis a), HasBasis a, AdditiveGroup b , b ~ Scalar b, VectorSpace b) => (a -> a :> b) -> a -> a -> (a:>b) -> (a :> b)
integrateD' f l u d_one =  ((\_ -> integrate (powVal . f) l  (u)) >-< (\_ ->  f u)) (d_one)

d_one表示派生变量，其派生必须为1.使用此函数，我现在可以创建一些实例，如

instance Integration Double (Double :> Double) where
integrate f l u = integrateD' f l u (idD 1)

和

instance Integration ( Double) (Double :> (NC.T Double)) where
integrate f l u = liftD2 (NC.+:) (integrateD' (\x -> NC.real <$>> f x) l u (idD 1.0 :: Double :> Double)) (integrateD' (\x -> NC.imag <$>> f x) l u (idD 1.0 :: Double :> Double))

很遗憾，我不能在开箱即用的复杂值上使用integrateD，我必须使用liftD2。其原因似乎是idD函数，我不知道是否有更优雅的解决方案。

当我查看问题中的示例时，我现在得到了我想要的解决方案：

*Main> derivAtBasis (integrateD' f 0 (pi AF./ 2) (idD 1.0 :: Double :> Double )) ()
D 23.140692632779267 ...

或使用实例：

*Main> derivAtBasis (integrate f 0 (pi AF./ 2)) ()
D 23.140692632779267 ...

如何区分积分与向量空间库（haskell）

3 个答案: