我可以使用什么算法来查找图中指定节点类型之间的最短路径？

Question

这是问题所在：

我有n个点（p1，p2，p3，.. pn），每个点都可以以确定的成本x连接到任何其他点。

每个点都属于一组点类型之一（例如“A”“B”“C”“D”......）。

方法的输入是我想要遵循的路径，例如“A-B-C-A-D-B”。

输出是连接输入类型I的点的最短路径，例如“p1-p4-p32-p83-p43-p12”，其中p1是A型，p4是B型，p32 C型，p83型，A型，p43型，D型，p12型，B型。

“简单”解决方案包括计算所有可能的路径，但计算成本非常高！

有人能找到更好的算法吗？

正如我在标题中所说，我不知道它是否存在！

更新

阻止我使用Dijkstra和其他类似算法的关键点是我必须根据类型链接点。

作为输入我有一系列类型，我必须按顺序链接。

这是Kent Fredric的图片（非常感谢），描述了最初的情况（红色允许的链接）！

一个现实生活中的例子：

一个男人想早上去教堂，去餐馆，下午去博物馆。

地图上有6个教堂，30个餐厅和4个博物馆。

他希望教堂休息博物馆的距离是最小的。

Answer 1

您可以使用Floyd-Warshall算法。这是WikiPedia给出的伪代码：

/* Assume a function edgeCost(i,j) which returns the cost of the edge from i to 
   (infinity if there is none).
   Also assume that n is the number of vertices and edgeCost(i,i)=0
*/

int path[][];

/* A 2-dimensional matrix. At each step in the algorithm, path[i][j] is the shortest path
   from i to j using intermediate vertices (1..k-1).  Each path[i][j] is initialized to
   edgeCost(i,j) or infinity if there is no edge between i and j.
*/

procedure FloydWarshall ()
    for k: = 1 to n
        for each (i,j) in {1,..,n}2
            path[i][j] = min ( path[i][j], path[i][k]+path[k][j] );

我必须编写关于同一问题的算法课程的程序。这个算法就像一个魅力！古德勒克。

Answer 2

有许多算法比计算所有可能的路径都要好。 Breadth-first search是我想到的算法族的基本起点，Best-first search是合适的，因为您定义了顶点成本，如果您可以获得有关您的问题空间的更多信息，您可能能够使用A*或Dijkstra's algorithm。 （在每种情况下，从允许的起始节点集中查找路径。）

重新编辑：您的路径约束（您需要满足的节点类型数组）不会阻止您使用这些算法;恰恰相反，它可以帮助他们更好地工作。您只需要以允许合并路径约束的方式实现它们，将搜索中每个步骤可用的顶点限制为在给定约束条件下有效的顶点。

Answer 3

正如Jan所提到的，你只需要一个普通的无聊最短路径算法（如Dijkstra或Floyd's算法）;但是，您需要转换输入图形，以便输出路径将遵循路径约束。

给出路​​径约束：A - B - A

创建一个新图G，并将A中的所有顶点插入到G中，并使用新标签（如a_01）。然后将B中的所有顶点插入G并将A顶点与B顶点连接（边缘应指向新插入的节点）复制成本原始图。然后，使用A（和任何其他路径组件）将新插入的顶点连接到B中的顶点，重复此步骤。因此，您创建一个图形，其中只有存在的路径满足路径约束。然后，您可以使用常规的最短路径算法。

关键的见解是，当您重新访问一个类时，您实际上正在访问一组不同的节点，并且您只需要连接相邻节点类的边。

Answer 4

在您的问题的修订版中，您似乎要求每个字母一个节点 - 在这种情况下，它是一个简单的动态编程解决方案：计算长度为1的所有最短路径，这些路径满足序列的开始，每对之间节点然后为所有节点对提供k所有这些路径，为k + 1构造是微不足道的。

Answer 5

这是带有动态编程解决方案的伪代码：

n - length of desired path
m - number of vertices
types[n] // desired type of ith node
vertice_types[m]
d[n][m] // our DP tab initially filled with infinities

d[0][0..m] = 0
for length from 1 to n 
  for b from 0 to m
    if types[length] == vertice_types[b]
      for a from 0 to m
        if types[length-1] == vertice_types[a]
          d[length][b] = min(d[length][b], d[length-1][a] + cost(a,b))

您的最低成本路径是min（d [n] [0..m]）

你可以将d表的大小减少到2行，但它会使解决方案混淆

Answer 6

据我了解你的问题，你需要有向图中的最短路径。 http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm应该给你一个想法。

问候，Jan

Answer 7

1. 计算每个等价块中的所有最短路径对。
2. 现在构建一个没有类间边缘的图形，但它的类之间的边缘与该类中的最短路径匹配，从而导致另一个类的特定节点。

希望这很清楚。

这种解决方案不是特别有效，但显然是多项式的。