Question

给出一个整数N，它适合长（小于2 ^ 63-1）和50个其他整数。你的任务是找到1到N中有多少个数字不包含50个数字作为其子字符串？

这个问题来自一次采访。

Answer 1

你没有指定基数，但我会假设小数而不失一般性。

首先，要认识到这是一个字符串问题，而不是数字问题。

构建有限自动机 A 以将50个整数识别为其他字符串的子串。例如，两个整数44和3被RE识别为子串。

^.*(44|3).*$

构建有限自动机 B 以识别小于 N 的所有数字。例如，以十进制识别1到27（含），可以通过编译RE

来实现

^([1-9]|1[0-9]|2[0-7])$

计算自动机 A 和 B 的交叉点 C ，而这又是FA。

使用动态编程算法计算 C 识别的语言大小。从由 A 识别的语言大小中减去该值，由同一算法计算。

（我并不是说这是渐近最优的，但它足以解决许多Project Euler问题：）

Answer 2

这只是larsmans已写的内容的解释。如果你喜欢这个答案，请另外投票给他。

有限自动机FA只是一组状态，规则说如果你处于状态S并且你喂的下一个字符是c然后你转换到州T。其中两个州很特别。一个意思是“从这里开始”，另一个意思是“我成功匹配”。其中一个字符是特殊的，意思是“字符串刚刚结束”。所以你拿一个字符串和一个有限的自动机，从起始状态开始，继续将字符输入机器并改变状态。如果您提供任何状态意外输入，则无法匹配。如果您达到“我成功匹配”状态，您就会成功匹配。

现在有一种众所周知的算法，用于将正则表达式转换为匹配字符串的有限自动机，当且仅当该正则表达式匹配时。（如果您已经阅读了正则表达式，这就是DFA引擎的工作方式。）为了说明我将使用模式^.*(44|3).*$，这意味着“字符串的开头，任意数量的字符，后跟44或3 ，后跟任意数量的字符，后跟字符串的结尾。“

在我们寻找下一个字符时，首先让我们标记我们可以在正则表达式中的所有位置：^ A .*(4 B 4|3) C {{1} }

我们的正则表达式引擎的状态将是这些位置的子集，并且特殊状态匹配。状态转换的结果将是我们在那个位置时可以获得的状态集，并且看到一个特定的字符。我们的起始位置是RE的开头，即{A}。以下是可以达到的州：

.*$

以下是转换规则：

S1: {A}   # start
S2: {A, B}
S3: {A, C}
S4: {A, B, C}
S5: matched

现在，如果您接受任何字符串，请在状态S1: 3: S3 4: S2 end of string: FAIL any other char: S1 S2: 3: S3 4: S3 end of string: FAIL any other char: S1 S3: 4: S4 end of string: S5 (match) any other char: S3 S4: end of string: S5 (match) any other char: S4中启动，并遵循规则，您将匹配该模式。这个过程可能冗长乏味，但幸运的是可以实现自动化。我的猜测是larsmans已将其自动化以供自己使用。（技术说明，从“RE中的位置”扩展到“可能存在的位置”可以在前面，在这里或在运行时完成。对于大多数RE，最好先做好。但就像这里一样。但是很少一些病态的例子会在很多状态下结束，而且在运行时这样做可能会更好。）

我们可以使用任何正则表达式执行此操作。例如，S1可以标记为：^([1-9]|1[0-9]|2[0-7])$ A ^ B ([1-9]|1 C [0-9]|2 D [0-7])我们获取状态：

和过渡：

T1: {A}
T2: {D}
T3: {B, D}
T4: {C, D}

好的，我们知道正则表达式是什么，有限自动机是什么，以及它们之间的关系。什么是两个有限自动机的交集？它只是一个有限自动机，当两个有限自动机单独匹配时匹配，否则无法匹配。它易于构造，其状态集只是一个状态对的集合，另一个状态。它的转换规则是只为每个成员独立应用转换规则，如果其中任何一个成功失败，如果两者都匹配，那么它们都是。

对于上述对，让我们实际执行数字T1: 1: T3 2: T4 3-9: T2 any other char: FAIL T2: end of string: MATCH any other char: FAIL T3: 0-9: T2 end of string: MATCH any other char: FAIL T4: 0-7: T2 end of string: MATCH any other char: FAIL上的交集。我们从州13

开始

(S1, T1)

然后是数字state: (S1, T1) next char: 1 state: (S1, T3) next char: 3 state: (S3, T2) next char: end of string state: (matched, matched) -> matched。

现在我们谈到这一点。鉴于最终的有限自动机，我们可以使用动态编程来确定与其匹配的字符串数量。这是计算：

state: (S1, T1)  next char: 1
state: (S1, T3)  next char: 4
state: (S2, T2)  next char: end of string
state: (FAIL, matched) -> FAIL

好的，这是很多工作，但我们发现有3个字符串同时匹配这两个规则。我们这样做的方式是可自动化的，可扩展到更大的数字。

当然，我们最初提出的问题是有多少与第二个相匹配，而不是第一个。我们知道27匹配第二条规则，3匹配两者，所以24必须匹配第二条规则但不匹配第一条规则。

正如我之前所说，这只是larsmans解决方案的阐述。如果你学到了什么，就投票给他，投票给他答案。如果这些材料听起来很有意思，那就去买一本像 Progamming Language Pragmatics 这样的书，学习更多关于有限自动机，解析，编译等的知识。这是一个非常好的技能组合，并且有太多的程序员没有。

排除数字的算法

2 个答案: