Question

有N名士兵（编号从1到N）。每个士兵都拥有M种不同技能的一些技能（编号从1到M）。军队的技能组合是其组成士兵的技能组合。有多少不同的士兵满足哪些具有特定的技能要求

Problem Link

根据解释问题减少到找到这些数字的子集数量，其OR正好等于所需的值，比如req

设f（i）为数j的数量，使得j OR i = i。

则答案为
Σi（-1）^ popcount（i xor req）（2 ^ f（i）-1）对于所有我来说i或req是req

请解释上面的公式及其如何实现

我知道选择N元素的方法有多少是（2 ^ n-1）但为什么这个术语(−1)^popcount(i xor req)

请解释算法。

Answer 1

这是inclusion exclusion。

让我们来看看问题的简化版本。假设您有2套A，B。假设您正在寻找具有正好1个元素的子集的大小。

首先，您计算|A| + |B|。但是在这里，您在| A [intersection] B|和|A|中计算了两次交叉点|B|的大小，因此您将其缩小并获得|A| + |B| - |A [intersection] B|。

同样，对于3组，您首先要添加所有集的大小：|A| + |B| + |C|。
然后，你减少所有＆＃34;连接＆＃34;在两组|A [intersection] B|, |A [intersection] C|, |B [intersection] C|之间。但现在，您删除了太多元素，还删除了|A [intersection] B [intersection] C|中的元素。要克服它，请添加此大小。

因此，概括它 - 您获得了n套和m所需的属性：

#of items with m properties: 
E(m) = sum { (-1)^(r-m) * Choose(r,m) * W(r) } 
Where: 
W(r) = summation of all intersections of size i, or formally:
W(r) = sum { W(p_k_1,...,p_k_r) | 1<=k_1<k_2<...<k_r<=n } 
W(pk1,...,pkr) = |X_k1 [intersection] X_k2 [intersection] .... [intersection] X_kr|

这解释了(-1)^x如何发挥作用，我们重复包含（添加）和排除（减少）尺寸。（-1）^ x允许我们自动＆＃34;减少/添加求和中的每个元素。

正如你所说，popcount(i xor req)正在计算＆＃34; up＆＃34; i^req表示中的位。这意味着，popcount()实际上是上述公式中的索引i，您的集合为：X_i = all soldiers with required property i。
这意味着如果k = popcount(i XOR req)，i完全得到k＆＃34;必需＆＃34;属性，并且属于r=k时的值的上述总和，因此属性add / substract取决于(-1)^k = (-1)^popcount(i XOR req)的值

Answer 2

在阅读社论并自己获得AC后，我不认为这里容易理解“包含 - 排除原则”的应用，这个问题围绕Codeforces Div.1问题C / D级别，例如，这一个：http://codeforces.com/contest/449/problem/D

重写版本@ 2016

以前的答案太乱了，我试着清理它并重写一个更易读的答案

我将解释为什么解决方案有效，但不 如何提出这样的解决方案，我认为这更多是关于体验。

大图解释

首先，不要过度思考问题，给定a[1..N]，解决方案实际上是所有可以产生req

的子集

话虽如此，我们怎样才能找到可以产生x的所有子集？如解决方案所示，我们定义f(i)

让f(i)为j或i = i的数字。

如果您觉得难以理解，请考虑其物理意义：

对于任何i，j或i = i iff j可由带走一些二进制位1远离 i

例如，如果i = 7，那么j可以是0,1,2 ...，7;如果i = 5，那么j可以是0,1,4,5

因此，2^f(i) - 1确实是当OR i

时可以产生i的可能子集的数量

在这里等一下，确保先完成上述部分。

现在如果i = req本身怎么办？这是什么意思？ 2^f(req)-1中计算了哪些子集？ 2^f(req)-1如何与我们想要的答案相关？

我们想要OR子集的所有元素将产生req

2^f(req)-1给出了所有元素OR req将产生req
的子集数量

你能闻到2^f(req)-1可能比我们需要的更多吗？

这样考虑：有一些子集2^f(req)-1计数，或者所有元素只能生成x，其中x可以通过从{{1中取走一些二进制位1来生成req （见上面的方块引用）

所以，我们必须从2^f(req)-1中删除一些内容，然后是包含 - 排除原则。

假设我们想要减去OR所有元素等于x的子集，即req带走一个二进制位1

有了类似的想法，你会发现必须减去2^f(x)-1，对于所有可能的x，在这里，请记住 x是所有数字{{1}拿掉一个二进制位1

但是，你会减去超过你应该的数量，因为不同的req可能会共享同一个x，其中y是y带走两个二进制位1，或req y带走一个二进制位1，您可以从x中删除每个y一次，但是在减去2^f(req)-1的过程中，对于某些2^f(x)-1，您有多次减去！

通过包含 - 排除原则，您必须将它们添加回来......我们在这里有一点摘要：

我们想要的是y - 2^f(req)-1 + 2^f(x)-1 ...其中2^f(y)-1是一组数字等于x删除一个二进制位1， req是一组数字，等于y删除两个二进制位1（或req删除一个二进制位1）

你能看到这里的模式吗？是的，这是公式

中的x部分

对于所有-1^popcount()＆lt; = i， req的每一位都与i或0 相同，那么{{1等于req（删除i xor req的所有1位），所以req - i确实从i中删除了二进制位1的＃为了得到popcount(i xor req)

综合整个故事，形成了公式：req适用于所有i，Sum (-1)^popcount(i xor req) * (2^f(i) - 1)

DP计算f（i）

以下是计算i OR req = req

的DP部分

请注意，它基于以下重现关系：

f（i）= for(int i=0;i<20;i++) for(int j=0; j<=(1<<20); j++) { if(j&(1<<i)) { f[j] += f[j^(1<<i)]; } }本身+ f（有些j是我删除了第1位）

因此，如果我的第j位为1，则f（i）= 1 + f（i xor（1 <＆lt; j））

请注意，f(i)必须小于i，因此DP订单。

动态规划中的包含 - 排除

2 个答案: