三维点叠加算法

Question

我需要将两组3D点叠加在一起;即找到旋转和平移矩阵以最小化它们坐标之间的RMSD（均方根偏差）。

我目前使用Kabsch algorithm，这对我需要处理的许多情况都不是很有用。 Kabsch在两个数据集中需要相同数量的点，而且，它需要知道哪个点预先与哪个点对齐。对于我的情况，点数将是不同的，并且我不关心哪个点对应于最终对齐中的哪个点，只要RMSD最小化。

因此，该算法（可能）会在两个点集的子集之间找到1-1映射，这样在旋转和平移后，RMSD最小化。

我知道一些处理不同点数的算法，但它们都是基于蛋白质的，也就是说，它们试图将骨架对齐在一起（一些连续的段与另一个连续的段对齐等），这是没用的对于漂浮在太空中的点，没有任何连接。 （好的，要清楚，有些点已经连接;但是有些点没有任何连接，我不想在叠加期间忽略它们。）

我发现的算法只有DIP-OVL，可在STRAP软件模块（开源）中找到。我尝试了代码，但行为似乎不稳定;有时它会找到很好的对齐方式，有时它在简单的X平移后无法与自身对齐一组。

任何人都知道处理此类限制的算法？如果性能有问题，我最多只能得到10 ^ 2到10 ^ 3点。

---

说实话，使用的目标功能不是很清楚。 RMSD定义为对应点之间距离的RMS。如果我有两组50和100点，并且算法匹配集合中的1个或几个点，那么这几个点之间的结果RMSD将为零，而整体叠加可能不是那么大。 所有点之间的RMSD不是更好的解决方案（我认为）。

我唯一能想到的是找到集合Y中每个点的集合X中的最近点（因此将存在精确的最小（| X |，| Y |）匹配，例如在该情况下为50）并计算来自那些比赛的RMSD。但距离计算和二分匹配部分似乎太复杂，无法以批量方式调用。该领域的任何帮助也会有所帮助。

谢谢！

Answer 1

您所说的内容似乎是“云到云注册”任务。例如，请查看http://en.wikipedia.org/wiki/Iterative_closest_point和http://www.willowgarage.com/blog/2011/04/10/modular-components-point-cloud-registration。您可以在开源Point Cloud Library中播放数据，看看它是否适合您。

Answer 2

如果您知道哪些点对应，则可以使用Linear Least Squares（LLS）恢复转换矩阵。

在考虑LLS时，您通常希望在x中找到A*x = b的近似值。使用转置，您可以求解A而不是x。

1. 使用“1”扩展每个源和目标向量，使它们看起来像＆lt; x ， y z ，1＆gt;
2. 公式： A · x _i = b _{< I> I 的}
3. 扩展到多个向量： A · X = B
4. 转置：（ A · X ） ^T = B ^T < / LI>
5. 简化： X ^T · ^T = B ^Ť
6. 替换 P = X ^T ， Q = A ^T 和 R B ^T 。结果是： P · Q = R
7. 应用LLS的公式： Q ≈（ P ^T · P ） ^-1 · P ^T · R 。
8. 替代： A ^T ≈（ X · X ^T ） ^-1 · X · B ^T
9. 解决 A ，并简化： A ≈ B · X ^T ·（ X · X ^T ） ^-1

（ B · X ^T ）和（ X · X < sup> T ）可以通过对各个向量对的外积进行求和来迭代计算。

• B · X ^T =Σ b _i · X <子> I 的^Ť
• X · X ^T =Σ x _i · X <子> I 的^Ť
• A ≈（Σ b _i · x _i ^T ）·（Σ _i · x _i ^T ） ^-1

没有矩阵会大于4×4，因此算法不会使用任何过多的内存。

结果不一定是仿射，但可能接近。通过一些进一步的处理，你可以使它变得柔和。

Answer 3

通过叠加发现比对的最佳算法是Procrustes Analysis或Horn's方法。请关注this Stackoverflow link。