Question

考虑：

X(x1,y1,z1)我需要验证它是否在锥体内。
M(x2,y2,z2)圆锥的顶点。（锥体的顶点）
N(x3,y3,z3)锥体底部中间的点。

我发现如果一个点X在锥体上，它需要验证这个等式：

cos(alfa) * ||X-M|| * ||N|| = dot(X-M,N)

其中dot是2个向量的标量积，alfa是这两个向量之间的角度。

根据公式，我计算了：

X-M = (x1-x2,y1-y2,z1-z2)

所以，

cos(alfa)
  * Math.sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2)
  * Math.sqrt(x3^2 + y3^2+z3^2)
= x3(x1-x2) + y3(y1-y2) + z3(z1-z2)

不幸的是，上述计算似乎给我错误的结果。我做错了什么？

另外我怀疑要检查锥体内是否X，我必须在公式中放置<=而不是=。这是对的吗？

这个用法是：我开发了一种游戏，当一个物体进入“视野”时，机枪必须开始射击。这个视图将是一个圆锥体。锥体的顶点将位于机枪中，锥体的底部将位于前方的某个已知距离处。进入这个锥体的任何物体，机枪都会射击它。

Answer 1

我完全赞同蒂姆：我们需要锥体的“角度”（光圈）才能得到答案。

让我们做一些编码吧！ 我将使用here中的一些术语。

给予结果的功能：

/**
 * @param x coordinates of point to be tested 
 * @param t coordinates of apex point of cone
 * @param b coordinates of center of basement circle
 * @param aperture in radians
 */
static public boolean isLyingInCone(float[] x, float[] t, float[] b, 
                                    float aperture){

    // This is for our convenience
    float halfAperture = aperture/2.f;

    // Vector pointing to X point from apex
    float[] apexToXVect = dif(t,x);

    // Vector pointing from apex to circle-center point.
    float[] axisVect = dif(t,b);

    // X is lying in cone only if it's lying in 
    // infinite version of its cone -- that is, 
    // not limited by "round basement".
    // We'll use dotProd() to 
    // determine angle between apexToXVect and axis.
    boolean isInInfiniteCone = dotProd(apexToXVect,axisVect)
                               /magn(apexToXVect)/magn(axisVect)
                                 >
                               // We can safely compare cos() of angles 
                               // between vectors instead of bare angles.
                               Math.cos(halfAperture);


    if(!isInInfiniteCone) return false;

    // X is contained in cone only if projection of apexToXVect to axis
    // is shorter than axis. 
    // We'll use dotProd() to figure projection length.
    boolean isUnderRoundCap = dotProd(apexToXVect,axisVect)
                              /magn(axisVect)
                                <
                              magn(axisVect);
    return isUnderRoundCap;
}

以下是基本函数的快速实现，上层代码需要操作向量。

static public float dotProd(float[] a, float[] b){
    return a[0]*b[0]+a[1]*b[1]+a[2]*b[2];
}

static public float[] dif(float[] a, float[] b){
    return (new float[]{
            a[0]-b[0],
            a[1]-b[1],
            a[2]-b[2]
    });
}

static public float magn(float[] a){
    return (float) (Math.sqrt(a[0]*a[0]+a[1]*a[1]+a[2]*a[2]));
}

玩得开心！

Answer 2

您需要检查差异向量（X-M）与中心向量（N）之间的角度是否小于或等于锥体的角度（您未在问题中指定）。这将告诉您位置向量（X）是否在无限锥内，然后您还可以检查距离（如果需要）。所以，

float theta = PI/6; //half angle of cone
if (acos(dot(X-M, N)/(norm(X-M)*norm(N)) <= theta) doSomething();

为了提高性能，您还可以将N标准化（将其转换为长度为1的向量）并分别存储长度。然后你可以将norm(X-M)与长度进行比较，给你一个圆底锥体（我确定存在一个名称，但我不知道它。）

编辑：忘记反余弦，点积等于norm(U)*norm(V)*cos(Angle)所以我们必须反转该操作来比较角度。在这种情况下，acos应该没问题，因为我们希望正角度和负角度相等，但要注意这一点。

编辑：Radians。

验证点是否在3D空间中的圆锥内

2 个答案: