Question

我有一个3D数学问题，我似乎无法解决。

我有3分的数据。数据是平面上的（2D）坐标，漂浮在3D空间中的某个位置。我也知道投影的（2D）坐标。这导致以下数据数组：

[[[x1,y1], [px1,py1],
 [[x2,y2], [px2,py2],
 [[x3,y3], [px3,py3]]

法线（x1等）坐标代表平面上的坐标，另一个（px1等）代表投影坐标。

我想做的是投射新的 2D坐标（[x4，y4]）。

到目前为止我尝试了什么：

当然你需要注意投射，所以我把它设置为[xe，ye，-1]。 xe和ye是众所周知的。（这是照片参考，所以我只是把眼睛放在照片的中心。）

在眼睛下方，我放置了投影表面（z = 0）。这给出了以下投影坐标：

[[[x1,y1], [px1,py1,0],
 [[x2,y2], [px2,py2,0],
 [[x3,y3], [px3,py3,0]]

我不能对飞机上的坐标做同样的事情，因为我对那架飞机一无所知。

我还想过，我可以制作从眼睛到投影坐标的线条的参数化公式。对于line1，它将是：

line1x = xe+(px1-xe)*t1
line1y = ye+(py1-ye)*t1
line1z = -1+t1 // = -1+(0--1)*t1

我也知道3D点之间的距离。这跟二维相同。这意味着point1和point2之间的距离为sqrt（（x1-x2）^ 2 +（y1-y2）^ 2）。

我也知道线（line1和line2）之间的距离。即sqrt（（line1x-line2x）^ 2 +（line1y-line2y）^ 2 +（line1z-line2z）^ 2）。

但是，我真的不知道如何从这里开始......或者甚至是否这是正确的选择。

我希望你明白我希望能做什么，并且你可以帮助我。

提前致谢！

Answer 1

有一个函数Projection，可以变换点，使投影（[x1，y1]）= [px1，py1]，投影（[x2，y2]）= [px2，py2]，投影（[x3， y3]）= [px3，py3]。如果我理解正确，作者想知道如何找到这个投影函数，以便他可以将[x4，y4]转换为[px4，py4]。

由于我们在这里处理飞机，因此投影功能如下所示：

Proj([ix, iy]) :
    return [ax*ix + bx*iy + cx,
            ay*iy + by*iy + cy];

使用它我们可以制作2个方程系统来解决。

第一个 x1 * ax + y1 * bx + cx = px1
x2 * ax + y2 * bx + cx = px2
x3 * ax + y3 * bx + cx = px3

解决 ax ， bx 和 cx 给我们

ax = (px1 * (y3 - y2) - px2*y3 + px3*y2 + (px2 - px3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
bx = - (px1 * (x3 - x2) - px2*x3 + px3*x2 + (px2 - px3) * x1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
cx = (px1 * (x3*y2 - x2*y3) + x1 * (px2*y3 - px3*y2) + (px3*x2 - px2*x3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)

第二个 x1 * ay + y1 * by + cy = py1
x2 * ay + y2 * by + cy = py2
x3 * ay + y3 * by + cy = py3

解决 ay ，和 cy 给我们

ay = (py1 * (y3 - y2) - py2*y3 + py3*y2 + (py2 - py3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
by = - (py1 * (x3 - x2) - py2*x3 + py3*x2 + (py2 - py3) * x1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
cy = (py1 * (x3*y2 - x2*y3) + x1 * (py2*y3 - py3*y2) + (py3*x2 - py2*x3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)

注意：我使用this tool来解决方程式系统。

Answer 2

写

(x4,y4,1) = A1*(x1,y1,1) + A2*(x2,y2,1) + A3*(x3,y3,1),

求解A1，A2，A3。然后

(xp4,yp4) = A1*(px1,py1) + A2*(px2,py2) + A3*(px3,py3).

第1次编辑。

（A1，A2，A3）是线性系统Mat *（A1，A2，A3）=（x4，y4,1）的解。

      ( x1  x2  x3 )
Mat = ( y1  y2  y3 )
      (  1   1   1 )

这可以通过各种方式解决。例如，使用Cramer's规则。

第二次编辑。

我插入的1不是Z坐标，而是输入坐标的均匀扩展（必须是欧几里德坐标）。（A1，A2，A3）是由三角形顶点形成的基础中的齐次坐标。

第3次编辑。

3D平面和投影平面之间的对应关系是投影变换。它可以定义为3x3矩阵T，在输入平面（x，y，1）（在坐标系中）的齐次坐标上运行，并在投影平面中生成坐标（u，v，t）。然后px = u / t和py = v / t。

如果一个点在由输入平面的三个点（不在同一条线上）形成的基础上具有齐次坐标（A1，A2，A3），那么它的投影在投影基础上具有相同的齐次坐标。

1小时前对我来说似乎很清楚，但现在我开始怀疑：可能需要另外一对点来解决这个问题...如果你能找到它，那么看看JG的“代数投射几何”一书Semple和G.T. Kneebone。

Answer 3

您应该使用homographic functions和homogeneous coordinates，它们通常用于3D透视操作。

Answer 4

我真的不明白这个问题？您是否尝试在三维空间中找到一个物体，您知道该物体位于一个平面上（例如墙壁或地板），而您唯一的输入是3点（其中您知道三维空间之间的距离）来自相机图像？

在这种情况下，您将有3个这样的方程式，其中localCoordinates是对象空间中的点坐标（给出点之间的已知距离），而world是3d空间中的对象位置。

cameraCoordinates = world*view*projection*localCoordinates

这将产生一个方程系统，其中6个未知（旋转和3d中的位置）和6个方程（每个点2个）。然而，它将是非线性的，因此您必须使用数值方法来解决它。试试Newton Rapson方法。

Answer 5

这里的“位”很晚，但评分最高的答案没有考虑到问题的3D空间。我们有一个透视投影问题，在一个平面上有三个点（实际上是任何3个3D点）在相机表面上投影（如在投影几何中）。

无法对此问题给出明确的解决方案（存在多种解决方案）。使用原始RANSAC paper中的P3P（Perspective-3-Point）算法可以解决给定3个3D点及其各自的2D透视投影的相机位置和姿势的一般问题，这给出了四个可能的可行性解决方案（在相机前面有点）。

考虑到相机姿势，计算附加平面点的投影是微不足道的。

逆3D（三角形）投影

5 个答案: