Question

我有一组N个数字，每个号码都附有一些费用，问题是选择所有可能的数字组作为列表，使其产品小于某个数字{{1} }，根据成本总和排序。

例如： - 这组数字是

且产品必须小于(number, costOfThatNumber) : {(90, 10) , (80, 20), (60, 40), (40, 60), (15, 85)},，

可能的解决方案是： -

Prod <= 1000

因此列表变为[Solution 1 :- {(15, 85), (40, 60)} :- Product = 600 (which is less than, 1000), cost = 85 + 60 = 145] [Solution 2 :- {(15, 85), (80, 20)} :- Product = 900 and cost = 105]。

PS： -

这不是一个家庭作业问题，在接受采访时被问到。我只被问到算法，我只能说它看起来有点像背包问题，但是用于乘法。
请原谅我是否无法正确解释问题。

Answer 1

我认为可以将问题减少到背包问题。

请注意

x1 * x2 * ... * xn <= M <-> 
log(x1*x2*...*xn) <= log(M) <-> 
log(x1) + log(x2) + ... + log(xn) <= log(M)

因此，可以使用背包找到最佳解决方案：

weight'(item) = log(weight(item))
value(item) = value(item)
M' = log(M)
run Knapsack on the items with weight', value, M'

需要做更多工作才能获得所有可行的解决方案，而不仅仅是最优解，但由于存在指数（2^n if M = infinity），我怀疑甚至存在伪多项式解决方案。

一种非有效的解决方案就是创建power set（包含所有可能集合的集合），并检查每个集合的可行性及其价值，并根据其值在有序集合中存储可行解决方案。 This post解释了如何获得权力。

Answer 2

如上所述，这不是背包问题。只需按顺序对对进行排序，从开始选择直到达到产品限制，然后根据成本重新排序。如上所述，并不要求总成本应低于任何阈值或限制，因此最佳解决方案是选择具有最小第一元素的对。

用于乘法的背包算法

2 个答案: