这是一个消费税：
设G是具有n个顶点和m个边的加权有向图，其中所有边都具有正权重。有向循环是一个有向路径，它在同一个顶点开始和结束，并包含至少一个边。给出O（n ^ 3）算法以找到G最小总重量的有向循环。将给出O（（n ^ 2）* m）算法的部分信用。
这是我的算法。
我做DFS。每次当我找到back edge时，我知道我有一个定向循环。
然后我会暂时沿parent array向后移动（直到我遍历周期中的所有顶点）并计算total weights。
然后我将此周期的total weight与min进行比较。 min始终采用最小总权重。在DFS完成后，我们也找到了最小的定向循环。
好的，然后是关于时间的复杂性。
老实说，我不知道算法的时间复杂度。
对于DFS，遍历取O（m + n）（如果m是边数，则n是顶点数）。对于每个顶点，它可能指向其祖先之一，从而形成一个循环。当找到一个循环时，需要O（n）来总结总重量。
所以我认为总时间是O（m + n * n）。但显然这是错误的，如消费中所述，最佳时间为O（n ^ 3），正常时间为O（m * n ^ 2）。
任何人都可以帮助我：
答案 0 :(得分：20)
您可以在此处使用Floyd-Warshall算法。
Floyd-Warshall算法找到所有对顶点之间的最短路径。
该算法非常简单，遍历所有对(u,v)，找到最小化dist(u,v)+dist(v,u) 的对，因为该对指示来自{{1}的循环重量为u的{{1}}。如果图形也允许自循环（边u），您还需要单独检查它们，因为算法不会检查这些循环（并且只有它们）。
伪代码：
dist(u,v)+dist(v,u) (u,u)实际上是从u到v然后从v到u的路径，这是一个循环。
算法运行时间为run Floyd Warshall on the graph
min <- infinity
vertex <- None
for each pair of vertices u,v
if (dist(u,v) + dist(v,u) < min):
min <- dist(u,v) + dist(v,u)
pair <- (u,v)
return path(u,v) + path(v,u)
，因为floyd-warshall是瓶颈，因为循环需要path(u,v) + path(v,u)时间。
我认为这里的正确性是微不足道的，但如果你不同意我，请告诉我，我会尝试更好地解释它。
答案 1 :(得分：2)
“对于每个顶点，它可能会指向其中一个祖先，从而形成一个循环”
我认为它可能会指向它的任何祖先，这意味着N
另外，当你从dfs中出来时，你将如何标记顶点，你可能会从其他顶点再次到达那里，它将成为另一个循环。所以这不再是（n + m）dfs了。
3。 在一个dfs期间，我认为顶点应该是看不见的，或者是检查，并且对于检查，你可以存储到起始顶点的路径的最小权重。因此，如果在某个其他阶段，您找到该顶点的边缘，则不必再搜索此路径。 此dfs将找到包含第一个顶点的最小定向循环。并且它是O（n ^ 2）（如果你将图形存储为列表，则为O（n + m））
所以如果要从任何其他顶点做到它将是O（n ^ 3）（O（n *（n + m））
抱歉，我的英语和我不擅长术语
答案 2 :(得分：2)
我的算法是否正确？
没有。让我举一个反例。想象一下，您从u开始DFS，从p1到p2有两条路径u和v以及{{1}路径p3 }}返回v，u比p1短。
假设您首先将p2路径转到p2，然后按路径v返回u。发现了一个周期，但显然它不是最小的。然后，您可以通过p3路径继续探索u，但是自p1完全探索以来，DFS结束时没有找到最小周期。
答案 3 :(得分：0)
我做了类似的事情，但是我没有为dfs使用任何访问数组（这是我的算法正常工作所必需的），因此我意识到我的算法具有指数复杂性。
由于您正在查找所有周期，因此不可能在不到指数时间内找到所有周期，因为可能会有2 ^（e-v + 1）个周期。