在有向图中，我们正在寻找具有最低平均边权重的周期。例如，具有节点1和2的图表，其长度为2的1到2以及长度为4的2到1的最小平均周期为3。
不是寻找复杂的方法（Karp），而是通过修剪解决方案进行简单的回溯。当当前运行平均值大于最佳找到的平均重量周期成本时，给出一个解释为“可解决带有重要修剪的回溯。”
但是，为什么这种方法有效？如果我们处于一个循环的中途并且重量超过最佳找到的平均值，那么在重量较小的情况下，我们是否可能达到当前周期可能低于最佳平均值的情况？
编辑：以下是一个示例问题：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=onlinejudge&page=show_problem&problem=2031
答案 0 :(得分：2)
让给定图形的最优解是具有平均边权重X的循环。
边缘e_1，e_2 ... e_n有一些最佳周期，avg(e_i) = X。
对于我的证明，我假设所有索引都是模n，因此e_(n + 1)是e_1。
让我们说我们的启发式无法找到这个解决方案，这意味着：对于每个i（我们首先采取的任何边缘）都存在j（我们跟随i的所有边缘至目前为止j，e_i ... e_j序列中的平均边权重大于X（启发式修剪此解决方案）。
然后我们可以证明平均边缘权重不能等于X.让我们采用最长的连续性子序列，这个子序列不是由启发式修剪的（每个元素的平均边缘权重不大于X）。至少有一个e_i <= X，因此存在这样的子序列。对于此类子序列的第一个元素e_k，p为avg(e_k ... e_p) > X。我们首先考虑p。现在让我们来k' = p + 1并获得另一个p'。我们将重复此过程，直到我们再次点击初始k。最终p可能无法超越初始k，这意味着最终子序列包含初始[e_k, e_p - 1]，这与我们e_k的构造相矛盾。现在我们的序列e_1 ... e_n完全由非重叠子序列e_k ... e_p，e_k'...e_p'等覆盖，每个子序列的平均边权重大于X.所以我们与avg(e_i) = X。
关于你的问题：
如果我们在一个周期的中途，重量超过最佳 找到了意思，我们可以用较小的重量边缘 达到我们当前周期可能低于最佳周期的情况 找到了意思？
当然是。但我们可以安全地修剪这个解决方案，因为稍后我们将发现从另一个边缘开始的相同循环，这将不会被修剪。我的证明表明，如果我们考虑图中的每个可能的周期，我们迟早会找到一个最佳周期。