图形遍历n步

Question

给出一个像这样的简单无向图：

从D，A，B或C（V_start）开始 - 我必须计算从起点（V_start）到起点（{{1}）的可能路径数量} V_start步骤，其中每个边和顶点可以无限次访问。

我正在考虑进行深度优先搜索，在n时停止，但是，如果steps > n || (steps == n && vertex != V_start)，这会变得相当昂贵。我的下一个想法让我将DFS与动态编程相结合，然而，这就是我被困住的地方。

（这不是家庭作业，只是为了学习而被困在图表和算法中。）

如何在合理的时间内使用大n = 1000000来解决这个问题？

Answer 1

此任务通过矩阵乘法求解。

如果存在从n到n的路径，则创建包含0和1的矩阵mat[i][j] x i（对于单元格j为1）。将此矩阵乘以k次（考虑使用快速矩阵求幂）。然后在矩阵的单元格mat[i][j]中，您拥有从k开始到i结尾的长度为j的路径数。

注意：快速矩阵取幂基本上与快速取幂相同，只是你将数乘以矩阵乘以数字。

注2：让我们假设n是图中的顶点数。然后我在这里提出的算法在时间复杂度O（log _k * n ³ ）中运行，并且具有O（n ² ）的存储器复杂度。如果您使用here所述的优化矩阵乘法，您可以进一步改进它。然后时间复杂度将变为O（log _k * n ^{log ₂ 7} ）。

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编辑根据Antoine的要求，我解释了为什么这个算法真正起作用的解释：

我将通过归纳证明该算法。归纳的基础是显而易见的：最初我在矩阵中有长度为1的路径数。

我们假设，如果我将矩阵提升到k的幂，k的幂，我在mat[i][j]中的长度为k的路径数量为i j和k + 1。

现在让我们考虑下一步k + 1。很明显，每个长度为k的路径都包含长度为k + 1的前缀和一条边。这基本上意味着长度mat_pow_k的路径可以通过（这里我用k表示提升到n幂的矩阵来计算

num_paths（x，y，k + 1）= sum _{i = 0} ^{i＆lt; n} mat_pow_k [x] [i] * mat [i] [y]

再次：mat[i][y]是图中顶点的数量。这可能需要一段时间才能理解，但基本上只有在x和y之间存在直接边缘时，初始矩阵在其k + 1单元格中才有1。我们会计算此边缘的所有可能前缀，以形成长度为k + 1的路径。

然而，我写的最后一件事实际上是在计算mat {{1}}的强大功能，这证明了归纳的步骤和我的陈述。

Answer 2

这非常像动态编程问题：

1. 将f [n] [m]定义为以m步开始从起点到点n的路径数
2. 从每个点n到其相邻的k，你有公式：f [k] [m + 1] = f [k] [m + 1] + f [n] [m]
3. 在初始化时，所有f [n] [m]都为0，但f [starting_point] [0] = 1
4. 因此您可以计算最终结果

伪代码：

memset(f, 0, sizeof(f));
f[starting_point][0] = 1;
for (int step = 0; step < n; ++step) {
    for (int point = 0; point < point_num; ++point) {
        for (int next_point = 0; next_point < point_num; ++ next_point) {
            if (adjacent[point][next_point]) {
                f[next_point][step+1] += f[point][step];
            }
        }
    }
}
return f[starting_point][n]