我正在寻找快速算法：
我有一个大小为n的int数组，目标是找到数组中的所有模式
x1, x2, x3 are different elements in the array, such that x1+x2 = x3
例如我知道有一个大小为3的int数组是[1, 2, 3]然后只有一种可能性：1 + 2 = 3（考虑1 + 2 = 2 + 1）
我正在考虑实现Pairs和Hashmaps以快速实现算法。 （我现在最快的一个仍然是O(n^2))
请分享您对此问题的想法，谢谢
答案 0 :(得分：8)
修改：以下答案适用于此问题的一个版本，在该版本中您只需要一个加起来的三元组。当你想要所有这些时，因为可能至少有O（n ^ 2）个可能的输出（如ex0du5所指出的），甚至在重复元素的病理情况下也是O（n ^ 3），你不是将基于散列（从值映射到具有该值的索引列表）击败简单的O（n ^ 2）算法。
这基本上是the 3SUM problem。如果没有可能无限大的元素，最着名的算法大约是O(n^2)，但我们只能证明它对于大多数计算模型来说不会比O(n lg n)快。
如果整数元素位于[u, v]范围内，则可以使用FFT在O(n + (v-u) lg (v-u))中对此进行略微不同的版本。我将描述一个将此问题转换为该问题的过程，在那里解决，然后根据此转换找出问题的答案。
我知道如何用FFT解决的问题是在数组中找到长度为3的算术序列：即序列a，b，c和{ {1}}，或等效地c - b = b - a。
不幸的是，转型的最后一步并不像我想的那么快，但是当我们到达那里时我会谈到这一点。
让我们调用原始数组a + c = 2b，其中包含整数X。我们希望找到x_1, ..., x_n，i，j这样的k索引。
在x_i + x_j = x_k时间内找到u的最低v和最高X。让O(n)为u'，min(u, u*2)为v'。
构造长度为max(v, v*2)的二进制数组（bitstring）Z;如果v' - u' + 1或其双Z[i]包含X，[x_1*2, ..., x_n*2]将为真。这是u' + i初始化;只需遍历O(n)的每个元素，并设置X的两个对应元素。
在我们构建此数组时，我们可以将找到的任何重复项的索引保存到辅助列表Z中。完成Y后，我们只会检查Z中每个2 * x_i的{{1}}。如果有，我们已经完成;否则重复是无关紧要的，我们可以忘记x_i。 （唯一的情况稍微复杂一点，如果重复Y;那么我们需要三个不同的副本来获得解决方案。）
现在，问题的解决方案，即Y，将0中显示为三个均匀间隔的解决方案，因为一些简单的代数操作会给我们x_i + x_j = x_k。请注意，末尾的元素是我们特殊的双重条目（来自Z），中间的元素是常规条目（来自2*x_j - x_k = x_k - 2*x_i）。
将2X视为多项式X的表示，其中度Z项的系数为p。如果i为Z[i]，则X为[1, 2, 3, 5]（因为我们有1,2,3,4,5,6和10）;然后Z 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 < / sup> + x 9 。
现在，请记住高中代数中两个多项式的乘积中 x c 的系数是所有 a，b a + b = c x a 的第一个多项式系数乘以<的第二个系数< EM> X b'/ SUP> 的。因此，如果我们考虑 q = p 2 ， x 2j 的系数（对于 j） 1111110001）将是p的所有 i 的总和。但由于Z[j] = 1是二进制的，因此正好是{em> i，j，k 的三元组数，它们是Z[i] * Z[2*j - i]中均匀间隔的三元组。请注意，（j，j，j）总是这样的三元组，因此我们只关心值为＆gt;的元素。 1。
然后我们可以Fast Fourier Transform使用this answer在Z时间内找到 p 2 ，Z为O(|Z| log |Z|) }。我们得出另一个系数数组;称之为|Z|。
循环遍历v' - u' + 1中的每个W。 （回想一下，我们所需的均匀间隔都位于x_k的元素上，而不是X。）如果相应的X为此元素的两倍，即2*X，是1，我们知道它不是任何重要进展的中心，我们可以跳过它。 （如前所述，它应该只是一个正整数。）
否则，它可能是我们想要的进展的中心（因此我们需要找到W和W[2*(x_k - u')]）。但是，不幸的是，它也可能是一个没有我们想要的形式的进展的中心。所以我们需要检查一下。循环遍历i的其他元素j，并检查x_i，X，2*x_i是否为x_k三倍2*x_j （通过检查j）。如果是这样，我们有答案;如果我们在没有命中的情况下通过所有Z[2*(x_k - x_j) - u']，那么FFT只能找到虚假答案，我们必须检查X的另一个元素。
因此，最后一步是O（n * 1 +（x_k的数量，W [2 *（x_k - u＆＃39;）]> 1，实际上不是解决方案）），这可能是W，这显然不合适。应该有办法避免在输出O(n^2)中生成这些虚假答案;如果我们知道任何适当的W系数肯定有答案，那么最后一步将是W并且一切都会很好。
我认为可以使用一个稍微不同的多项式来做到这一点，但我还没有实际工作。我会再考虑一下......
部分基于{{3}}。
答案 1 :(得分：1)
必须至少为O（n ^ 2），因为有n（n-1）/ 2个不同的总和可以检查其他成员。你必须计算所有这些，因为任何总和可以是任何其他成员（从一个例子开始并置换所有元素以说服自己必须检查所有元素）。或者看看斐波那契的具体事情。
因此计算并在哈希表中查找成员会产生摊销的O（n ^ 2）。如果您需要最坏的情况，请使用有序树。
答案 2 :(得分：1)
你基本上需要找到所有不同的值对总和，所以我认为你不会比O（n 2 ）更好。但您可以通过对列表进行排序并减少重复值进行优化，然后仅将值与任何等于或大于的值配对，并在总和超过列表中的最大值时停止。